Wurzellängen und Abstandsbestimmung im Koordinatensystem

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Hier erfährst du, wie du eine Strecke konstruieren kannst, deren Länge gleich einem vorgegebenen Wurzelausdruck ist, und wie du den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem berechnen kannst.

Geometrische Darstellung von Quadratwurzeln

Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist meistens eine irrationale Zahl , z.B. 2 , 3 , 5 , 6 , …Dennoch lassen sich diese Zahlen geometrisch als Längen von Strecken darstellen. Zum Beispiel hat die Diagonale in einem Einheitsquadrat die Länge 2 . Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.
 
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Auf ähnliche Weise lässt sich jede irrationale Zahl der Form n (n natürliche Zahl) als Länge einer Strecke konstruieren.
Diagonale im Quadrat
 
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Die Diagonale ist die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck ABC . Länge d der Diagonale:Nach dem Satz des Pythagoras gilt:kem GeoII GeoIISGdPWL 3 Wurzellängen und Abstandsbestimmung im KoordinatensystemAlso:kem GeoII GeoIISGdPWL 4 Wurzellängen und Abstandsbestimmung im Koordinatensystem
Konstruktion einer irrationalen Länge
 
Die Strecke AB ¯ hat eine Länge von 40 .
 
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Du zeichnest ein rechtwinkliges Dreieck ABC , in dem AB ¯ die Hypotenuse ist und die Länge 40 besitzt. Hierzu zerlegst du 40 in die Summe zweier Quadratzahlen:
 
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Du trägst 6 und 2 Kästchenlängen rechtwinklig im Raster ab und erhältst die Katheten BC ¯ und AC ¯ .Dann verbindest du die Punkte A und B.
Die Strecke mit der Länge 40 war einfach zu konstruieren, weil 40 die Summe zweier Quadratzahlen ist. Dies ist aber nicht für jede natürliche Zahl der Fall.
Beim Versuch, der Reihe nach Strecken der Längen 1 , 2 , 3 , … zu konstruieren, wird das schnell klar.
 
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Diese Reihe kannst du weiter fortsetzen und auf diese Weise auch Strecken mit irrationalen Längen, wie z.B. 14 oder 21 , konstruieren.Die Figur die dabei entsteht wird „Wurzelschnecke“ genannt.Mit der Wurzelschnecke kannst du (theoretisch) die Quadratwurzel aus jeder natürlichen Zahl geometrisch als eine Streckenlänge darstellen.

Abstandsberechnungen im Koordinatensystem

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich eine Formel herleiten, mit der du den Abstand zweier Punkte aus deren Koordinaten berechnen kannst. Das Ergebnis liefert den exakten Wert und macht das Einzeichnen der Punkte im Koordinatensystem in vielen Fällen überflüssig.
 
Den Abstand d zwischen zwei Punkten A a 1 | a 2 und B b 1 | b 2 berechnest du mit der Abstandsformel d A , B = b 1 - a 1 2 + b 2 - a 2 2 .
 
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Der Abstand d zwischen den Punkten A und B ist gleich der Länge der Strecke AB ¯ : Die Strecke AB ¯ ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck APB . Die Kathete AP ¯ hat die Länge b 1 - a 1 , die Kathete BP ¯ hat die Länge b 2 - a 2 .Nach dem Satz des Pythagoras gilt: d 2 = b 1 - a 1 2 + b 2 - a 2 2 Also : d = b 1 - a 1 2 + b 2 - a 2 2
Abstandsbestimmung im Koordinatensystem
 
Abstand d der Punkte A 70 | 6 und B 3 | 40
 
Du verwendest die Abstandsformel und setzt die Koordinaten in die Formel ein.
 
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Eigenschaften eines Vierecks bestimmen
 
Ohne die Punkte A 4 | 1 , B 12 | 3 , C 10 | 11 und D 2 | 9 in ein Koordinatensystem einzutragen, kannst du entscheiden, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
 
In einem Quadrat
 
1. sind alle vier Seiten gleich lang (Raute) und 2. alle Winkel sind rechte Winkel.
 
Seitenlängen:
 
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Alle Strecken sind also gleich lang, die erste Bedingung ist erfüllt. Das Viereck ist eine Raute.
 
Rechter Winkel
 
Die Länge e der Diagonalen in der Raute ABCD (mit der Seitenlänge a) ist der Abstand der Punkte A und C.Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel im Punkt B wenn gilt: e 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2
 
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Also: 136 = 2 * 68
In einer Raute mit einem rechten Winkel sind alle Winkel rechte Winkel. Die zweite Bedingung ist erfüllt.