Volumen- und Oberflächenberechnung

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Eigenschaften von Kugeln

Die Kugel ist ein geometrischer Körper der entsteht, wenn ein Kreis (oder ein Halbkreis) um seinen Durchmesser rotiert.
 
 
Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben denselben Abstand r (Radius) vom Mittelpunkt M der Kugel.
 
kem FuV3 FuV3Koe3Kug 1 Volumen  und Oberflächenberechnung

Volumenberechnung

V = 4 3 π r 3
Faustformel: V = 4 r 3
 
Da π 3 , heben sich der Nenner 3 und π bei einer überschlagsrechnung gegeneinander auf.
Kugel mit einem Radius r von 7 cm
 
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kem FuV3 FuV3Koe3Kug 3 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
Beim Runden auf ganze Hunderter ergibt sich in beiden Fällen das gleiche Ergebnis.
Mit der Formel zur Berechnung des Volumens kannst du auch den Radius der Kugel berechnen.Du stellst die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach dem Radius um:
 
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Oberflächenberechnung

O = 4 π r 2
Kugel mit einem Radius r von 3 cm
 
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Mit der Formel zur Berechnung der Oberfläche kannst du auch den Radius der Kugel berechnen.Du stellst die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach dem Radius um:
 
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Kugelabschnitte

Das Volumen eines Kugelabschnitts oder -keils entspricht dem Anteil, den dieser an der Kugel hat.
 
Die Oberfläche eines Kugelabschnitts oder -keils setzt sich zusammen aus:
 
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Eine Achtelkugel ist begrenzt von einem Achtel der Oberfläche und drei Viertelkreisen:Es ergibt sich: V = 1 6 π r 3 O = 5 4 π r 2

Berechnungen an zusammengesetzten Körpern

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus zwei oder mehr Teilkörpern.Das Volumen des zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Volumen aller Teilkörper.Die Oberfläche ist die Summe aller begrenzenden Teilflächen.
Beachte, dass die Flächen, an denen sich die Körper berühren, nicht zur Oberfläche gehören.
Du gehst Schritt für Schritt vor:
 
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Volumenberechnung (Maße in m)kem FuV3 FuV3Koe3Kug 10 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
1.Teilkörper:kem FuV3 FuV3Koe3Kug 11 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
2. Formeln:kem FuV3 FuV3Koe3Kug 12 Volumen  und Oberflächenberechnungkem FuV3 FuV3Koe3Kug 13 Volumen  und Oberflächenberechnung
Rundungsfehler beim Rechnen bleiben klein, wenn du zuerst zusammenfasst und möglichst spät, bzw. erst am Ende mit π multiplizierst .
 
3. Fehlende Maße: Radius der Grundflächen (in m): r = 1 2 d = 2
 
4. Volumen berechnen in ( m 3 ): kem FuV3 FuV3Koe3Kug 14 Volumen  und Oberflächenberechnung

Berechnungen an ausgehöhlten Körpern

Ein ausgehöhlter Körper entsteht, indem du aus einem Körper einen oder mehrere andere Körper herausschneidest.
 
Das Volumen des ausgehöhlten Körpers ist also kleiner als das des Grundkörpers ( Differenz ).
 
Die Oberfläche ist die Summe aller begrenzenden Teilflächen. Sie kann größer werden.
 
Du gehst Schritt für Schritt vor.
 
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Oberflächenberechnung (Maße in cm)kem FuV3 FuV3Koe3Kug 16 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
1. Teilfläche:kem FuV3 FuV3Koe3Kug 17 Volumen  und Oberflächenberechnung
Die Fläche des aus einer Würfelseite herausgeschnittenen Kreises entspricht der Schnittfläche der Halbkugel und wird subtrahiert.
 
2. Formeln:kem FuV3 FuV3Koe3Kug 18 Volumen  und Oberflächenberechnungkem FuV3 FuV3Koe3Kug 19 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
3. Fehlende Maße:Radius der Kugel (in cm): r = 1 2 d = 3
 
4. Oberfläche berechnen (in cm 2 ): kem FuV3 FuV3Koe3Kug 20 Volumen  und Oberflächenberechnung
 
Rundungsfehler beim Rechnen bleiben klein, wenn du zuerst zusammenfasst und möglichst spät, bzw. erst am Ende mit π multiplizierst .

Die Kugel als Rotationskörper

Wird eine Kugel entlang der Ebene, in der eine ihrer Symmetrieachse liegt, geschnitten, so entsteht als Axialschnitt der Kugel ein Kreis.
 
 
Rotiert ein Kreis um seinen Durchmesser, so entsteht als Rotationskörper eine Kugel.
 
Rotiert ein Halbkreis um die Symmetrieachse , so entsteht als Rotationskörper eine Halbkugel.
 

Funktionale Abhängigkeiten

Volumen und Oberfläche der Kugel hängen ausschließlich vom Radius der Kugel ab.
 
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Wird also der Radius verdoppelt, dann verachtfacht sich das Volumen und vervierfacht sich die Oberfläche.