Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Interaktive Mathebücher zum Üben & Testen

Die interaktiven Mathebücher von bettermaks gibt es für die Klassenstufen 4 bis 10. bettermarks bietet über 100.000 Aufgaben mit ausführlichen Erklärungen und Lösungswegen.

Kostenlos registrieren Einloggen

Verschiebung entlang der y-Achse

Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion
 
g x = x 2 + e
 
eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel.
 
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S 0 | e .
Für e > 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben.
 
Für e < 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach unten verschoben.
y = x 2 + 3
 
kem QFuG QFuGGrSpf 1 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen
y = x 2 - 2
 
kem QFuG QFuGGrSpf 2 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Verschiebung entlang der x-Achse

Subtrahierst du von den Argumenten der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante d, dann ist der Graph der neuen Funktion
 
g x = x - d 2
 
eine entlang der x-Achse verschobene Normalparabel.
 
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S d | 0 .
Für d > 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben.
 
Für d < 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach links verschoben.
y = x - 2 2
 
kem QFuG QFuGGrSpf 3 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen
y = x - -2 2 = x + 2 2
 
kem QFuG QFuGGrSpf 4 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Streckung, Stauchung und öffnung

Multiplizierst du den Funktionsterm f x = x 2 mit einem konstanten Faktor a, so verändert sich die Form bzw. die öffnung der zugehörigen Parabel.
 
Es entsteht der Graph der Funktion g mit g x = a x 2 .
 
Der Faktor a wird auch Streckfaktor genannt.
 
Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt im Punkt S 0 | 0 .
Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet.
 
Sie besitzt einen Tiefpunkt.
 
Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
 
Sie besitzt einen Hochpunkt.
kem QFuG QFuGGrSpf 5 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen
Für 0 < a < 1 ist die Parabel „breiter“ als die Normalparabel. Sie ist also in y-Richtung gestaucht.
 
Für a > 1 ist die Parabel „schmaler“ als die Normalparabel. Sie ist also in y-Richtung gestreckt.
 
Für a = 1 ist es die Normalparabel.
kem QFuG QFuGGrSpf 6 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Scheitelpunktform

Oft werden quadratische Funktionsterme in der Scheitelpunktform angegeben:
 
f x = a x - d 2 + e
 
Du kannst aus ihr die Koordinaten des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel direkt ablesen:
 
S d | e
 
Zusätzlich kannst du den Streckfaktor a der Parabel ablesen. Es ist der Faktor vor der Klammer.
kem QFuG QFuGGrSpf 7 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen
kem QFuG QFuGGrSpf 8 Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen