Rationale Zahlen im Koordinatensystem

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In diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit einem Koordinatensystem umgehst, in dem auch negative Zahlen vorkommen.

Das vollständige Koordinatensystem

Der Zahlenstrahl wird zu einer Zahlengerade erweitert, indem du negative Zahlen mit aufnimmst. Ebenso kann man auch das Koordinatensystem erweitern.
 
Zahlenstrahlkem RZ RZWueKS 1 Rationale Zahlen im Koordinatensystem
 
Zahlengeradekem RZ RZWueKS 2 Rationale Zahlen im Koordinatensystem
 
Du kannst das dir bekannte Quadratgitter auf den negativen Bereich ausdehnen, indem du die x- und die y-Achse über den Nullpunkt hinweg zu Zahlengeraden ausdehnst. Denn ein Koordinatensystem ist nichts anderes als zwei Zahlengeraden, die senkrecht aufeinander stehen.
 
QuadratgitterKoordinatensystem
 
kem RZ RZWueKS 3 Rationale Zahlen im Koordinatensystemkem RZ RZWueKS 4 Rationale Zahlen im Koordinatensystem
 
Diese beiden Zahlengeraden werden auch Koordinatenachsen genannt. In der Mathematik nennt man die x-Achse auch die Abzisse und die y-Achse die Ordinate. Der Punkt O (0|0), in dem sich die beiden Achsen schneiden, wird auch als Ursprung bezeichnet.

Die Quadranten des Koordinatensystems

Die beiden Koordinatenachsen unterteilen die Zeichenebene in vier Quadranten (also in vier Felder).kem RZ RZWueKS 5 Rationale Zahlen im Koordinatensystem
 
Auch wenn du einen Punkt nicht zeichnest, kannst du an den Vorzeichen seiner Koordinaten erkennen in welchem Quadranten der Punkt liegt.
 
P(x/y)
 
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Ein Punkt im Koordinatensystem

Ein Punkt im Koordinatensystem wird durch seine x-Koordinate (auch x-Wert genannt) und seine y-Koordinate (auch y-Wert genannt) beschrieben.kem RZ RZWueKS 7 Rationale Zahlen im Koordinatensystem
 
Alle Punkte werden mit Großbuchstaben benannt (A, P, R, T, …).

Einzeichnen eines Punkts

Wenn du einen Punkt in das Koordinatensystem einzeichnen möchtest, dann trägst du die x- und y-Werte immer vom Ursprung aus parallel zu den Achsen ab:
 
x-Wert positiv: waagerecht nach rechts abtragenx-Wert negativ:waagerecht nach links abtragen
 
y-Wert positiv: senkrecht nach oben abtrageny-Wert negativ: senkrecht nach unten abtragen
A(3|2)
A(-4|3)
A(-2|-3)
A(4|-1)

Ablesen eines Punkts

Wenn du einen Punkt ablesen möchtest, dann denke dir durch den Punkt zwei Geraden, die zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen. Dort, wo die Geraden die Koordinatenachsen schneiden, kannst du den x- und den y-Wert des Punkts ablesen.
kem RZ RZWueKS 8 Rationale Zahlen im Koordinatensystem

Geraden im Koordinatensystem

Um eine Gerade in das Koordinatensystem einzuzeichnen, verbindest du zwei Punkte miteinander, durch die diese Gerade verlaufen soll.
 
Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet (g, h, j, k, …).
Gerade g durch die Punkte A(2|1) und B(-4|-3)

Spiegeln von Punkten im Koordinatensystem

Bei einer Spiegelung eines Punktes an einer Koordinatenachse oder am Ursprung ist der Abstand des Punktes von der Spiegelachse oder dem Ursprung immer genauso groß, wie der Abstand des Spiegelpunktes von der Spiegelachse oder dem Ursprung.
Spiegelung an der x-Achse:
Wenn du einen Punkt an der x-Achse spiegelst, dann verändert sich nur das Vorzeichen der y-Koordinate des Punktes.
 
Ausgangspunkt: A(3|2) Spiegelpunkt: A’(3|-2)
Spiegelung an der y-Achse:
Wenn du einen Punkt an der y-Achse spiegelst, dann verändert sich nur das Vorzeichen des x-Koordinate des Punktes.
 
Ausgangspunkt: A(3|2) Spiegelpunkt: A’(-3|2)
Spiegelung am Ursprung:
Wenn du einen Punkt am Ursprung spiegelst, kehren sich die Vorzeichen beider Koordinaten des Punktes um.
 
Ausgangspunkt: A(3|2) Spiegelpunkt: A’(-3|-2)