Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

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Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen

 
Ist die linke Seite einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form dargestellt, kannst du die Lösungsmenge L der Gleichung bestimmen, indem du jeden Faktor gleich null setzt und nach x auflöst.
x + 3 x - 3 = 0
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du
 
x + 3 = 0 oder x - 3 = 0 .
 
Also ist
 
x = -3 oder x = 3
 
und
 
L = -3 , 3 .
3 x - 5 2 x + 4 = 0
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du
 
3 x - 5 = 0 oder 2 x + 4 = 0 .
 
Also ist
 
x = 5 3 oder x = -2
 
und
 
L = 5 3 , -2 .
x + 4 2 = 0
 
kannst du auch schreiben als
 
x + 4 x + 4 = 0 .
 
Da beide Faktoren gleich sind, erhältst du durch Anwenden der Nullproduktregel nur eine Gleichung:
 
x + 4 = 0
 
Also ist
 
x = -4
 
und
 
L = -4 .

Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Differenz von Quadraten

 
Kann die linke Seite einer quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 als Differenz von Quadraten geschrieben werden, kannst du sie mit Hilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren und die Lösungsmenge L der Gleichung durch Anwenden der Nullproduktregel bestimmen.
x 2 - 36 = 0
 
Zunächst faktorisierst du mit Hilfe der binomischen Formel a 2 - b 2 = a + b a - b , wobei a = x und b = 6 ist:
 
x 2 - 6 2 = x + 6 x - 6
 
Nun löst du die quadratische Gleichung x + 6 x - 6 = 0 .
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du
 
x + 6 = 0 oder x - 6 = 0 .
 
Also ist
 
x = -6 oder x = 6
 
und
 
L = -6 , 6 .
4 x 2 - 16 = 0
 
Zunächst faktorisierst du mit Hilfe der binomischen Formel a 2 - b 2 = a + b a - b , wobei a = 2 x und b = 4 ist:
 
2 x 2 - 4 2 = 2 x + 4 2 x - 4
 
Nun löst du die quadratische Gleichung 2 x + 4 2 x - 4 = 0 .
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du
 
2 x + 4 = 0 oder 2 x - 4 = 0 .
 
Also ist
 
x = -2 oder x = 2
 
und
 
L = -2 , 2 .

Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Vollständiges Quadrat

 
Kann die linke Seite einer quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 als vollständiges Quadrat geschrieben werden, kannst du sie mit Hilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel faktorisieren und die Lösungsmenge L der Gleichung durch Anwenden der Nullproduktregel bestimmen.
9 x 2 + 30 x + 25 = 0
 
Zunächst faktorisierst du mit Hilfe der binomischen Formel a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2 , wobei a = 3 x und b = 5 ist:
 
3 x 2 + 2 * 3 x * 5 + 5 2 = 3 x + 5 2
 
Nun löst du die quadratische Gleichung 3 x + 5 2 = 0 .
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du nur eine Gleichung:
 
3 x + 5 = 0
 
Also ist
 
x = - 5 3
 
und
 
L = - 5 3 .
4 x 2 - 12 x + 9 = 0
 
Zunächst faktorisierst du mit Hilfe der binomischen Formel a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2 , wobei a = 2 x und b = 3 ist:
 
2 x 2 - 2 * 2 x * 3 + 3 2 = 2 x - 3 2
 
Nun löst du die quadratische Gleichung 2 x - 3 2 = 0 .
 
Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du nur eine Gleichung:
 
2 x - 3 = 0
 
Also ist
 
x = 3 2
 
und
 
L = 3 2 .