Pyramide

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Eigenschaften von Pyramiden

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen.
 
Ist die Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck oder ein Rechteck und liegt die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, so ist die Pyramide gerade. Alle Seitenkanten sind dann gleich lang.Pyramiden, bei denen die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, werden als schiefe Pyramiden bezeichnet.
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 1 Pyramide
Gerade Pyramide mit einem Sechseck als Grundfläche
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 2 Pyramide
Schiefe Pyramide mit einem Fünfeck als Grundfläche
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 3 Pyramide
Im Weiteren wird die gerade Pyramide kurz als Pyramide bezeichnet. Ist von einer schiefen Pyramide die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt.

Volumenberechnung

Für das Volumen einer Pyramide gilt die Formel
 
V = 1 3 G * h
 
Für die Berechnung der Grundfläche verwendest du dann die passende Flächeninhaltsformel.
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 4 Pyramide
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 5 Pyramide
 
Mit der Formel zur Berechnung des Volumens kannst du auch die anderen Größen einer Pyramide berechnen. Du stellst die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um.
 
Nach h :
 
V = 1 3 G * h kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 6 Pyramide h = 3 V G
 
oder nach G :
 
V = 1 3 G * h kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 7 Pyramide G = 3 V h
Von einer Pyramide mit einem Volumen V von 20 cm 3 und einer Grundfläche G von 10 cm 2 wird die Höhe h (in cm) gesucht.
 
Du setzt die Werte für V und G in die Gleichung für h ein und berechnest h (in cm):
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 8 Pyramide

Oberflächenberechnung

kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 9 Pyramide
Pyramide mit quadratischer Grundfläche (a = 6 cm ) und einer Seitenhöhe h s von 5 cm
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 10 Pyramide
 
Mit der Formel zur Berechnung der Oberfläche kannst du auch Grundfläche und Mantelfläche berechnen. Dazu stellst du die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um:
 
Nach G :
 
O = G + M kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 11 Pyramide G = O - M
 
oder nach M :
 
O = G + M kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 12 Pyramide M = O - G

Funktionale Abhängigkeiten

Bei gleichbleibender Grundfläche G, wächst das Volumen V proportional zur Höhe h. D. h., wird die Höhe mit einem Faktor vervielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit demselben Faktor.
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 13 Pyramide
Bei gleichbleibender Höhe h, ändert sich das Volumen V auch zur Grundfläche G proportional.
Bei einer regelmäßigen Pyramide besteht auch zwischen der Länge der Grundkante und dem Volumen ein funktionaler Zusammenhang . Bei gleichbleibender Höhe h, wächst das Volumen V quadratisch mit der Länge der Grundkante a .
 
D. h., wird die Länge der Grundkante mit einem Faktor vervielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit dem Quadrat dieses Faktors.
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 14 Pyramide

Berechnungen zum Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn eine Pyramide parallel zur Grundfläche geschnitten wird.
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 15 Pyramide
Das Volumen V ST des Pyramidenstumpfs ist also die Differenz aus dem Volumen V P der Pyramide und dem Volumen V S der abgetrennten Pyramide.
 
V ST = V P - V S
 
Kennst du ein Längenverhältnis an der Pyramide, dann kannst du auf ein anderes Längenverhältnis mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes schließen:
 
h S h P = a S a P = s S s P
 
kem FuV3 FuV3Koe2Pyr 16 Pyramide
Mit diesen Verhältnisgleichungen lassen sich alle Maße berechnen. Den Strahlensatz kannst du bei jeder Pyramide, also auch den unregelmäßigen, anwenden.