Primfaktorzerlegung

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In diesen Erklärungen erfährst du, wie du eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen kannst.

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl größer eins ist entweder selbst eine Primzahl oder lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.
 
Die Primzahlen werden dann auch Primfaktoren genannt.
 
Für jede Zahl gibt es, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, nur eine einzige Primfaktorzerlegung. Es ist für die übersicht sinnvoll, die Faktoren der Größe nach zu ordnen und zu Potenzen zusammenzufassen.
Für jede Zahl gibt es nur eine einzige Primfaktorzerlegung.
Zerlege 2940 in Primfaktoren.
Primfaktorzerlegung
Du beginnst mit der Primzahl 2 und dividierst 2940 so lange durch 2, bis du eine ungerade Zahl als Quotienten erhältst.
 
Anschließend probierst du es mit dem Primfaktoren 3, 5, 7 und so weiter, bis das gesamte Produkt ausschließlich aus Primfaktoren zusammengesetzt ist.
kem TbuP TbuPPPfz 1 Primfaktorzerlegung
Um alle Primfaktoren einer Zahl zu finden, musst du nur die Teilbarkeit durch die Primzahlen testen, deren Quadrat kleiner ist als die vorgegebene Zahl.
Zerlege 501 in Primfaktoren.
Primfaktorzerlegung
501 liegt zwischen 484 = 22 * 22 und 529 = 23 * 23 .
 
Du musst also nur die Teilbarkeit der Primzahlen überprüfen, die kleiner als 22 sind.
 
501 ist nur durch 3 teilbar. Der Komplementärteiler ist dann 167, da 3 * 167 = 501 . 167 ist eine Primzahl, da sie nicht durch 5, 7, 11, 13, 17 oder 19 teilbar ist.
501 = 3 * 167

Geschickte Primfaktorzerlegung

Bei manchen Zahlen kannst du einen Teiler direkt ablesen. Dann musst du nicht mit dem kleinsten Primfaktor beginnen, sondern bildest eine Multiplikationsaufgabe mit dem bekannten Faktor.
 
Nachdem du alle Primfaktoren gefunden hast, sortierst du sie nach aufsteigender Größe.
 
Potenzen auswendig lernen
 
Für eine geschickte Faktorisierung ist es hilfreich, neben den Teilbarkeitsregeln auch die Potenzen einiger Primzahlen auswendig zu können:
Zweierpotenzen:kem TbuP TbuPPPfz 2 Primfaktorzerlegung
 
Dreierpotenzen:kem TbuP TbuPPPfz 3 Primfaktorzerlegung
 
Fünferpotenzen:kem TbuP TbuPPPfz 4 Primfaktorzerlegung
 
Geschickte Primfaktorzerlegung
Zerlege 16200 in Primfaktoren.
Primfaktorzerlegung
16200 ist durch 200 teilbar, denn die letzten beiden Ziffern sind 0 und die Zahl 162 ist gerade. Außerdem ist 200 = 8 * 25 .
 
Die Faktoren 8, 25 und 81 kannst du auswendig in Primzahlpotenzen zerlegen
kem TbuP TbuPPPfz 5 Primfaktorzerlegung