Potenzen und rationale Zahlen

Interaktive Mathebücher zum Üben & Testen

Die interaktiven Mathebücher von bettermaks gibt es für die Klassenstufen 4 bis 10. bettermarks bietet über 100.000 Aufgaben mit ausführlichen Erklärungen und Lösungswegen.

Kostenlos registrieren Einloggen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit Potenzen rationaler Zahlen rechnest.

Grundbegriffe zu den Potenzen

Jede Potenz besteht aus einem Exponenten und einer Basis.
 
kem RZ RZRPo 1 Potenzen und rationale Zahlen
 
SprechweiseDu sprichst die Rechenoperation als „2 hoch 5“ aus. Wenn im Exponent eine „2“ steht, wie zum Beispiel bei 7 2 , dann kannst du auch „7 zum Quadrat“ sagen.
10 1 , 10 2 , 10 3 , … werden als Zehnerpotenzen bezeichnet.
2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , … werden als Zweierpotenzen bezeichnet.

Potenzen in ein Produkt umwandeln

Die Potenzschreibweise ist eine Abkürzung für die Multiplikation gleicher Zahlen. Die natürliche Zahl im Exponenten gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
 
Man verwendet auch Potenzen mit den Exponenten 1 und 0. Eine Potenz mit dem Exponenten 1 stellt die Zahl selbst dar, also die Basis: 2 1 = 2
 
Eine Potenz mit dem Exponenten 0 stellt für jede Basis (außer Null) die Zahl 1 dar: 1 0 = 1 ; 2 0 = 1 ; 3 0 = 1 ; …
Eine Potenz ist die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst!
Wenn der Exponent 1 ist, ist die Potenz gleich der Basis.
Wenn der Exponent null ist und die Basis ungleich null, ist die Potenz 1.
kem RZ RZRPo 2 Potenzen und rationale ZahlenDie Basis steht für den Faktor (im Beispiel 2) und der Exponent (im Beispiel 5) gibt an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert wird.
Negative Zahlen als Basis
kem RZ RZRPo 3 Potenzen und rationale ZahlenAuch negative Zahlen können als Basis gewählt werden. Diese werden dann in Klammern gesetzt.Wie man die Potenz dann berechnet, legen die Vorzeichenregeln für rationale Zahlen fest.
Dezimalzahlen als Basis
kem RZ RZRPo 4 Potenzen und rationale ZahlenAuch Dezimalzahlen können als Basis gewählt werden. Sind sie negativ, werden auch diese in Klammern gesetzt.

Potenzen mit Brüchen

Ist die Basis einer Potenz ein Bruch, so folgt aus der Definition von Potenzen direkt eine leicht merkbare Rechenregel:
 
3 4 5 = 3 4 * 3 4 * 3 4 * 3 4 * 3 4 = 3 5 4 5
 
Du kannst eine Potenz mit Bruch als Basis also umrechnen, indem du den Exponenten auf Zähler und Nenner verteilst.
3 7 2 = 3 2 7 2
- 1 5 3 = -1 5 3 = -1 3 5 3

Vorzeichen von Potenzen

Bei Potenzen gelten folgende Rechenregeln für die Vorzeichen:
Ist die Basis positiv, so ist die gesamte Potenz stets positiv.
Ist die Basis negativ, so ist die gesamte Potenz positiv bei geraden Exponenten.
Ist die Basis negativ, so ist die gesamte Potenz negativ bei ungeraden Exponenten.
Negative Basis mit geradem Exponenten
kem RZ RZRPo 5 Potenzen und rationale Zahlen
 
Je zwei negative Faktoren lassen sich zu einem positiven Faktor zusammenfassen. Das Produkt dieser positiven Faktoren ist ebenfalls positiv.
Negative Basis mit ungeradem Exponenten
kem RZ RZRPo 6 Potenzen und rationale Zahlen
 
Je zwei negative Faktoren lassen sich zu einem positiven Faktor zusammenfassen. Bei einem ungeraden Exponenten ist die Anzahl der Faktoren jedoch ungerade. Somit bildest du das Produkt aus lauter positiven Faktoren und einem negativen Faktor und erhältst ein negatives Ergebnis.
Verschiedene Basen und Exponenten im Vergleich
kem RZ RZRPo 7 Potenzen und rationale Zahlen
 
Bei einer positiven Basis (hier die 2) ist die gesamte Potenz stets positiv.Bei einer negativen Basis (hier die -2) wechselt das Vorzeichen des Ergebnisses immer, je nachdem, ob der Exponent ungerade (z.B. 1) oder gerade (z.B. 2) ist.