Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen

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Nullstellen einer Parabel

Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x 0 gilt also f x 0 = 0 .
 
An einer Nullstelle schneidet bzw. berührt der Graph von f die x-Achse. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Lage der zugehörigen Parabel ab.
Funktion f mit f x = x 2 - 2
 
Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse.
 
Sie schneidet die x-Achse zweimal und somit hat die Funktion f zwei Nullstellen.
 
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Funktion f mit f x = x 2 + 2
 
Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse.
 
Sie schneidet die x-Achse in keinem Punkt und somit hat die Funktion f keine Nullstelle.
 
kem QFuG QFuGBerNuSch 2 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungen
Funktion f mit f x = - x - 2 2
 
Die zugehörige Parabel ist nach unten geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
 
Sie berührt die x-Achse in einem Punkt und somit hat die Funktion f genau eine Nullstelle.
 
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Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, setzt du den Funktionsterm gleich null und löst die Gleichung.
Funktion f mit f x = x 2 + 5 x
 
kem QFuG QFuGBerNuSch 4 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungenkem QFuG QFuGBerNuSch 5 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungen
Funktion f mit f x = x 2 + 3 x - 4
 
x 2 + 3 x - 4 = 0
 
Lösen mit pq-Formel:
 
kem QFuG QFuGBerNuSch 6 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungen
 
x 1 = 1 und x 2 = -4
Funktion f mit f x = 2 x 2 + 8 x - 10
 
2 x 2 + 8 x - 10 = 0
 
Lösen mit abc-Formel:
 
kem QFuG QFuGBerNuSch 7 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungen
 
x 1 = -5 und x 2 = 1

Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen

Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion f entspricht der Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung f x = 0 . Daher kannst du die Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante der quadratischen Gleichung bestimmen.
x 2 + 5 x - 1 = 0
 
D = 29 4 gt 0 .
 
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
 
Die Funktion f mit f x = x 2 + 5 x - 1 hat also zwei Nullstellen.
 
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x 2 + 2 x + 5 = 0
 
D = -4 lt 0 .
 
Die Gleichung hat keine Lösung.
 
Die Funktion f mit f x = x 2 + 2 x + 5 hat also keine Nullstellen.
 
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Schnittpunkte zweier Graphen

Um die Schnittpunkte der Graphen zweier Funktionen f und g zu bestimmen, setzt du die Funktionsterme gleich und löst die entstandene Gleichung nach x auf.
 
Die Schnittpunkte haben die Koordinaten P x 0 | f x 0 = P x 0 | g x 0 .
Funktionen f und g mit f x = x 2 - 4 x + 1 und g x = x + 1
 
kem QFuG QFuGBerNuSch 10 Nullstellen  und Schnittpunktberechnungen
 
Einsetzen der Werte in eine der beiden Funktionen
 
g x 1 = 1 und g x 2 = 5 + 1 = 6
 
ergibt die Schnittpunkte P 1 0 | 1 und P 1 5 | 6 .
 
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Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln

Oft kannst du schon anhand der Lage zweier Parabeln im Koordinatensystem entscheiden, ob sie sich schneiden.
 
Am einfachsten kannst du die Lage einer Parabel im Koordinatensystem erkennen, wenn die Parabelgleichung in Scheitelpunktform gegeben ist.
Parabel 1:
 
y = 3 x - 4 2 + 1
 
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
Ihr Scheitelpunkt S 4 | 1 liegt im ersten Quadranten.
 
Parabel 2:
 
y = -2 x - 1 2 - 2
 
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
Ihr Scheitelpunkt S 1 | -2 liegt im vierten Quadranten.
 
Die beiden Parabeln schneiden sich nicht.
 
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Parabel 1:
 
y = x - 2 2 - 1
 
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
Ihr Scheitelpunkt S 2 | -1 liegt im vierten Quadranten.
 
Parabel 2:
 
y = - x - 2 2 + 3
 
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
Ihr Scheitelpunkt S 2 | 3 liegt im ersten Quadranten.
 
Die beiden Parabeln schneiden sich zweimal.
 
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