Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

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Herleitung der pq-Formel

Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x 2 + p x + q = 0
 
pq-Formel: x 1/2 = - p 2 ± p 2 2 - q
 
Die pq-Formel entsteht aus der Normalform einer quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 durch quadratische Ergänzung .
 
kem QFuG QFuGLvpq 1 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen
 
für p 2 2 - q gt 0 :
 
kem QFuG QFuGLvpq 2 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen
 
L = - p 2 + p 2 2 - q ; - p 2 - p 2 2 - q

Lösen quadratischer Gleichungen

Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x 2 + p x + q = 0
 
pq-Formel: x 1/2 = - p 2 ± p 2 2 - q
x 2 . + 4 x - 5 = 0
 
Du setzt p = 4 und q = -5 in die pq-Formel ein:
 
kem QFuG QFuGLvpq 3 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen
 
x 1 = -2 + 3 = 1 und x 2 = -2 - 3 = -5
 
L = 1 ; -5

Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen

Diskriminante D zur pq-Formel: D = p 2 2 - q
 
Betrachtest du die Diskriminante D der pq-Formel , kannst du angeben, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
 
Ist D > 0, hat die Gleichung zwei Lösungen.
x 2 . + 6 x - 12 = 0 D = 6 2 2 - -12 = 21 gt 0
 
L = -3 + 21 ; -3 - 21
 
Ist D = 0, hat die Gleichung eine Lösung.
x 2 - 4 x . + 4 = 0 D = -4 2 2 - 4 = 0
 
L = 2
 
Ist D < 0, hat die Gleichung keine Lösung.
x 2 - 2 x . + 6 = 0 D = -2 2 2 - 6 = -5 lt 0
 
L =

Satz von Vieta

 
Francois Viète (lat. Vieta) entdeckte den Zusammenhang zwischen p und q und den Lösungen x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 :
 
- p = x 1 + x 2 q = x 1 * x 2
 
Du kannst mit dem Satz von Vieta überprüfen, ob zwei Werte Lösungen einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. ( Probe )
Sind x 1 = 12 und x 2 = -7 Lösungen der Gleichung x 2 - 5 x . + 84 = 0 ?
 
Du setzt x 1 = 12 und x 2 = -7 in die Gleichungen ein:
 
kem QFuG QFuGLvpq 4 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen
 
Daher ist mindestens einer der Werte keine Lösung der quadratischen Gleichung.
 
Du kannst den Satz von Vieta anwenden, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu „erraten“.
Welche Lösungen hat die Gleichung x 2 - 5 x + 6 = 0 ?
 
Du setzt -5 für p und 6 für q in die Gleichungen ein und suchst nach Zahlen für x 1 und x 2 , die beide Gleichungen erfüllen:
 
kem QFuG QFuGLvpq 5 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen
 
Die beiden Faktoren 2 und 3 von 6 sind Lösungen der quadratischen Gleichung. Du bestätigst das durch Einsetzen:
 
2 + 3 = 5 2 * 3 = 6

Herleitung des Satzes von Vieta

Für eine quadratische Gleichung in Normalform ( x 2 + p x + q = 0 ) gilt der Satz von Vieta:
 
- p = x 1 + x 2 und q = x 1 * x 2 .
 
Den Satz von Vieta kannst du aus der faktorisierten Form x - x 1 x - x 2 = 0 herleiten.
 
Wenn x 1 und x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 sind, dann gilt:
 
kem QFuG QFuGLvpq 6 Mit der p/q Formel quadratische Gleichungen lösen