Lösen von Exponentialgleichungen

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Lösen durch Exponentenvergleich

Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung.
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 1 Lösen von Exponentialgleichungen
Linke Seite vereinfachen:
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 2 Lösen von Exponentialgleichungen
 
Also:
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 3 Lösen von Exponentialgleichungen
 
Exponentenvergleich ergibt:
 
x = 2
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 4 Lösen von Exponentialgleichungen
Du schreibst beide Seiten als Potenzen derselben Basis:
 
8 3 x + 1 = 2 3 3 x + 1 = 2 9 x + 3 und 4 5 x = 2 2 5 x = 2 10 x
 
Exponentenvergleich ergibt:
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 5 Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen durch Logarithmieren

kem ExpLog ExpLogLogExpGl 6 Lösen von Exponentialgleichungen
Durch Logarithmieren erhältst du
 
lg 13 x + 2 = lg 5
 
und nach der Exponentenregel
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 7 Lösen von Exponentialgleichungen
 
Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste kem ExpLog ExpLogLogExpGl 8 Lösen von Exponentialgleichungen verwendest. Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:
 
x -1.37
5 2 x = 7 x + 2
Logarithmieren und Anwendung der Exponentenregel:
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 9 Lösen von Exponentialgleichungen
 
Nach x umstellen:
 
kem ExpLog ExpLogLogExpGl 10 Lösen von Exponentialgleichungen
 
Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste kem ExpLog ExpLogLogExpGl 11 Lösen von Exponentialgleichungen verwendest:
 
2 * kem ExpLog ExpLogLogExpGl 12 Lösen von Exponentialgleichungen 7 / ( 2 * kem ExpLog ExpLogLogExpGl 13 Lösen von Exponentialgleichungen 5 - kem ExpLog ExpLogLogExpGl 14 Lösen von Exponentialgleichungen 7 )
 
Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:
 
x 3.057
2 x + 3 x = 7 x
 
lässt sich nicht exakt lösen, sondern nur näherungsweise durch Einsetzen geeigneter Werte.
x = 0 : 2 0 + 3 0 = 2 gt 1 = 7 0 und 2 1 + 3 1 = 5 lt 7 = 7 1 kem ExpLog ExpLogLogExpGl 15 Lösen von Exponentialgleichungen Lösung liegt zwischen 0 und 1.
 
x = 0.5 : 2 0.5 + 3 0.5 3.146 > 2.646 7 0.5 kem ExpLog ExpLogLogExpGl 16 Lösen von Exponentialgleichungen Lösung liegt zwischen 0.5 und 1.
 
Ein guter Näherungswert für x ist 0.66885 .