Kreisausschnitt und Kreisbogen

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Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisausschnitten und Kreisabschnitten und die Länge von Kreisbögen berechnen kannst.

Kreisausschnitt

Wählst du auf einer Kreislinie zwei Punkte aus und verbindest diese mit dem Kreismittelpunkt, dann erhältst du einen Ausschnitt des Kreises. Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts A α (auch Kreissektor genannt) wird bestimmt durch die Größe des Mittelpunktswinkels α . Je größer der Winkel α ist, desto größer ist auch der Flächeninhalt des Kreisausschnitts.kem FuV3 FuV3KrAuB 1 Kreisausschnitt und KreisbogenDen Flächeninhalt eines vollen Kreises ( α = 360 ° ) berechnest du mit der Formel A = π r 2 .Ist zum Beispiel α = 120 ° , dann entspricht der Kreisausschnitt einem Drittel des Vollkreises, denn 120 ist der dritte Teil von 360.
 
A 120 ° = π r 2 * 120 ° 360 ° = π r 2 * 1 3
 
Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit dem Winkel α :
 
A α = π r 2 * α 360 °
Für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts A α mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel α gilt: A α = π r 2 * α 360 °
Für einen Winkel von α = 72 ° ergibt sich:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 2 Kreisausschnitt und Kreisbogen
Gegeben sind der Radius r = 3.5 cm und der Mittelpunktswinkel α = 60 ° eines Kreises. Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts.Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.
Kreisausschnittfläche berechnen
Du setzt den Radius r = 3.5 cm und den Mittelpunktswinkel α = 60 ° in die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts ein:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 3 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Berechne alle Teilergebnisse, bei denen du nicht runden musst:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 4 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 5 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Das Endergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:
 
A α ≈ 6,41
 
So vermeidest du Fehler durch zu häufiges Runden der Zwischenergebnisse.
Der Kreisausschnitt hat einen Flächeninhalt von etwa 6,41 cm 2 .

Kreisbogen

Der zu einem Kreisausschnitt gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet. Die Länge des Kreisbogens b ist abhängig von der Größe des Mittelpunktswinkels α . Je größer der Winkel α , desto länger ist der Kreisbogen.kem FuV3 FuV3KrAuB 6 Kreisausschnitt und KreisbogenDen Umfang eines vollen Kreises ( α = 360 ° ) berechnest du mit der Formel U = 2 π r .Ist zum Beispiel α = 120 ° , dann entspricht die Kreisbogenlänge einem Drittel des Vollkreisumfangs, denn 120 ist derdritte Teil von 360.
 
b 120 ° = 2 π r * 1 3 = 2 π r * 120 ° 360 °
 
Allgemein gilt für die Bogenlänge:
 
b α = 2 π r * α 360 °
Für die Länge des Kreisbogens b α mit dem Mittelpunktswinkel α und dem Radius r gilt: b α = 2 π r * α 360 °
Für einen Winkel von α = 45 ° ergibt sich:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 7 Kreisausschnitt und Kreisbogen
Gegeben sind der Radius r = 3.5 cm und der Mittelpunktswinkel α = 60 ° eines Kreises. Berechne die Länge des Kreisbogens.Gib das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma genau an.
Kreisbogenlänge berechnen
Du setzt den Radius r = 3.5 cm und den Mittelpunktswinkel α = 60 ° in die Formel für den Kreisbogens ein:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 8 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Berechne alle Teilergebnisse, bei denen du nicht runden musst:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 9 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 10 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Das Endergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:
 
b α ≈ 3,7
 
So vermeidest du Fehler durch zu häufiges Runden der Zwischenergebnisse.
Der Kreisbogen hat eine Länge von etwa 3.7 cm .

Kreisabschnitt

Der Kreisabschnitt (auch Kreissegment genannt) A s ist Teil eines Kreisausschnitts. Der Kreisabschnitt wird von der Sehne s und dem zugehörigen Kreisbogen b begrenzt.kem FuV3 FuV3KrAuB 11 Kreisausschnitt und Kreisbogen
Den Flächeninhalt des Kreisabschnitts A s berechnest du, indem du vom Flächeninhalt des Kreisausschnitts ( A α ) den Flächeninhalt des Dreiecks MAB ( A D ) subtrahierst: A s = A α A D
Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreisabschnitts A s ? kem FuV3 FuV3KrAuB 12 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Kreisausschnittfläche A α in cm 2 : kem FuV3 FuV3KrAuB 13 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
A α = π r 2 * α 360 °
 
Du setzt den Radius r = 3.6 cm und den Mittelpunktswinkel α = 120 ° in die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts ein:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 14 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Flächeninhalt A D des Dreiecks MAB in cm 2 : kem FuV3 FuV3KrAuB 15 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
A D = 1 2 * s * h
 
Das Dreieck MAB ist gleichschenklig, denn zwei Seiten sind gleichzeitig Radius im Kreis.Die Höhe h halbiert also die Sehne s und teilt das Dreieck MAB in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse r.Du kannst die Höhe h mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
 
r 2 = h 2 + s 2 2 h 2 = r 2 s 2 2 h = r 2 - s 2 2 Also:
 
A D = 1 2 * s * r 2 - s 2 2
 
Du setzt den Radius r = 3.6 cm und die Sehne s = 6.2 cm in die Formel ein:
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 16 Kreisausschnitt und Kreisbogen
 
Kreisabschnittsfläche A s in cm 2 : Vom Flächeninhalt des Kreisausschnitts A α subtrahierst du den Flächeninhalt des Dreiecks MAB A D .
 
kem FuV3 FuV3KrAuB 17 Kreisausschnitt und Kreisbogen
Da die Werte für die Sehne und den Radius nur auf eine Stelle nach dem Komma genau angegeben sind, ist es sinnvoll, das Ergebnis auf höchstens zwei Stellen nach dem Komma zu runden.