Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln

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Hier erfährst du, wie du Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten bestimmen kannst, was Laplace-Experimente sind und wie relative Häufigkeiten mit Wahrscheinlichkeiten zusammenhängen.

Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsräume

Zufallsexperimente werden zur mathematischen Beschreibung von Vorgängen verwendet, deren Ausgang nicht sicher vorhergesagt werden kann. Zum Beispiel kannst du beim Würfeln nicht vorher wissen, ob du eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln wirst.
 
Wahrscheinlichkeiten sollen in diesen Fällen den Grad der Gewissheit für das Eintreten von Ereignissen messen und angeben. Dafür werden Zahlen x mit 0 x 1 verwendet und den Ereignissen zugeordnet:
 
Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, es tritt nie ein. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1, es tritt immer ein. Ereignisse mit anderen Wahrscheinlichkeiten treten manchmal, aber nicht immer ein.kem StochW StochWGLHWuR 1 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
Eine Wahrscheinlichkeit wird mit einer Zahl angegeben: Sie ist mindestens 0 und höchstens 1 und wird mit P bezeichnet.
Beim zufälligen Ziehen einer von 5 verschiedenen Karten (nummeriert von 1 bis 5) wird die Karte 4 mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 gezogen.
Beim zufälligen Ziehen geht man davon aus, dass jede Karte gleich wahrscheinlich gezogen wird.
 
Daher kannst du davon ausgehen, dass ungefähr ein Fünftel aller Ziehungen die „Karte 4“ ergibt.
 
Die Wahrscheinlichkeit für das „Ziehen von Karte 4“ beträgt 1 5 = 0,2.
In manchen Situationen werden Wahrscheinlichkeiten auch in Prozenten oder Verhältnissen angegeben. Dabei kannst du wie gewohnt umrechnen, zum Beispiel:
 
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Bei der Wettervorhersage im Fernsehen wird berichtet: „Die Regenwahrscheinlichkeit für morgen beträgt 70 % .“
Eine Regenwahrscheinlichkeit von 70 % bedeutet, dass es in durchschnittlich 70 von 100 vergleichbaren Situationen regnet.
 
Ergebnismengen bestimmen Bevor Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet werden können, muss geklärt sein, welche Ergebnismenge betrachtet wird.
 
Wahrscheinlichkeiten werden nur Ereignissen zugeordnet, die zur Ergebnismenge gehören, d.h., die eine Teilmenge der Ergebnismenge sind. Dazu verwendest du den Buchstaben P (probability; engl. für Wahrscheinlichkeit).
 
Häufig gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Ergebnismenge festzulegen. Abhängig von dem Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit du bestimmen möchtest, musst du sie geschickt wählen.
 
In dieser Erklärung werden ausschließlich Experimente betrachtet, bei denen die Ergebnismenge endlich ist.
Welche Menge musst du als Ergebnismenge wählen, wenn du angeben möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit beim Würfeln die Zahl 2 fällt?
Ergebnismenge bestimmen
Dich interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {2}, also muss 2 auch in der Ergebnismenge enthalten sein.
 
In Ω = {gerade Zahl; ungerade Zahl} wäre es nicht möglich das Würfeln einer 2 vom Würfeln einer 4 oder 6 zu unterscheiden.
 
Um die Wahrscheinlichkeit anzugeben eine 2 zu würfeln, schreibst du dann P({2}) = ?, oder auch vereinfacht P(2) = ?.
 
Die Wahrscheinlichkeit eine 1 oder eine 2 zu würfeln gibt man in dem Fall so an: P({1; 2}) = ?.
 
Auch dafür werden häufig vereinfachte Darstellungen wie etwa P(1; 2) oder P(1 oder 2) verwendet.
kem StochW StochWGLHWuR 3 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
 
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Eine Ergebnismenge Ω zusammen mit einer Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten P für jedes mögliche Ereignis nennt man auch einen Wahrscheinlichkeitsraum.
 
Die Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes werden häufig mit lateinischen Großbuchstaben benannt, meistens E.
Max wirft eine Münze in die Luft, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 entweder auf der Kopf- oder auf der Zahl-Seite landen wird.Die Ergebnismenge ist Ω = {Kopf; Zahl}.
 
E sei das Ereignis „landet auf der Zahl-Seite“, also E = {Zahl}.Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse?
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Jeder Teilmenge von Ω kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, also auch Ω selber und der leeren Menge { }.
 
Die Wahrscheinlichkeit von Ω ist in jedem Wahrscheinlichkeitsraum 1, denn Ω enthält alle möglichen Ergebnisse, das Ereignis Ω tritt also immer ein und wird daher auch das „sichere Ereignis“ genannt.
 
Die Wahrscheinlichkeit von { } ist in jedem Wahrscheinlichkeitsraum 0, denn { } enthält kein einziges Ergebnis, das Ereignis { } tritt also nie ein und wird daher auch das „unmögliche Ereignis“ genannt.
 
Statt P({Zahl}) wird auch hier manchmal vereinfacht P(Zahl) oder P(Münze landet auf der Zahl-Seite) geschrieben.
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Allgemeine Regeln für Wahrscheinlichkeiten

Sind in einem Wahrscheinlichkeitsraum die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse bekannt, so können damit auch die Wahrscheinlichkeiten beliebiger zugehöriger Ereignisse berechnet werden.Umgekehrt können auch manchmal Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen aus Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gefolgert werden.
 
Diese Zusammenhänge werden in der sogenannten Summenregel zusammengefasst:
 
Besteht ein Ereignis E = { e 1 ; e 2 , … ; e n } aus den paarweise verschiedenen Ergebnissen e 1 , e 2 , … , e n , dann entspricht die Wahrscheinlichkeit von E der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse: P(E) = P({ e 1 }) + P({ e 2 }) + … + P({ e n }).
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses ist immer 1.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier verschiedener Ergebnisse a und b entspricht immer der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „a oder b“: P({a}) + P({b}) = P({a; b}).
Wenn du beim Ziehen eines Loses auf dem Jahrmarkt mit Wahrscheinlichkeit 0,1 ein Gewinn-Los und mit Wahrscheinlichkeit 0,3 ein Trostpreis-Los bekommst, ziehst du mit Wahrscheinlichkeit 0,4 ein Gewinn- oder ein Trostpreis-Los:
 
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P({Gewinn-Los; Trostpreis-Los}) = P({Gewinn-Los}) + P({Trostpreis-Los}) = 0.1 + 0.3 = 0.4
Ein Los kann nicht gleichzeitig Gewinn- und Trostpreis-Los sein. Daher kann die Ergebnismenge so gewählt werden, dass sowohl „Gewinn-Los“ als auch „Trostpreis-Los“ Ergebnisse sind. Also kannst du die Summenregel anwenden.
 
Vereinfacht kann hierfür auchP(Gewinn-Los oder Trostpreis-Los) = P(Gewinn-Los) + P(Trostpreis-Los) = 0,1 + 0,3 = 0,4geschrieben werden.
 
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Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Zu jedem Ereignis E eines Wahrscheinlichkeitsraumes gibt es ein Gegenereignis E ¯ . Dieses enthält genau die Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind.Sind zum Beispiel Ω = {a; b; c; d; e} und E = {a; b; c}, dann ist E ¯ = {d; e}.
 
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Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses E und seines Gegenereignisses E ¯ gilt also
 
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Beim Wichteln zieht jeder Schüler der Klasse 8b ein Los mit dem Namen des Mitschülers, den er beschenken wird.Mika zieht als Erster eines der Lose. Seine Lehrerin hat ausgerechnet, dass er mit Wahrscheinlichkeit 0,48 ein Los mit einem Mädchennamen ziehen wird.Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er ein Los mit dem Namen eines Jungen?
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Wenn E das Ereignis ist, ein Los mit einem Mädchennamen zu ziehen, dann ist E ¯ das Ereignis, ein Los mit dem Namen eines Jungen zu ziehen und P( E ¯ ) ist gesucht.Wegen P(E) + P( E ¯ ) = 1 gilt:
 
P( E ¯ ) = 1 - P(E) = 1 - 0.48 = 0.52
Mika zieht mit Wahrscheinlichkeit 0,52 ein Los mit dem Namen eines Jungen.
 
Anwendung der Summenregel Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bekannt, das zum Beispiel aus zwei Ergebnissen besteht, und ist die Wahrscheinlichkeit für eines der Ergebnisse ebenfalls bekannt, so kann daraus auch auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ergebnisses geschlossen werden.
Ein Los-Verkäufer wirbt: „Nur 10 % der Lose sind Nieten.“ Im Lostopf befinden sich außer den Nieten nur Lose für Trostpreise und Lose für Hauptgewinne.
 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du einen Trostpreis, wenn 15 % der Lose Hauptgewinne sind?
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du ziehst mit Wahrscheinlichkeit 90 % keine Niete.Da es außer Nieten nur Trostpreise und Hauptgewinne gibt, gilt somit P({Trostpreis; Hauptgewinn}) = 90 % .
 
Mit Hilfe der Summenregel kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
 
P({Trostpreis; Hauptgewinn}) = P({Trostpreis}) + P({Hauptgewinn}) , also
 
P({Trostpreis}) = P({Trostpreis; Hauptgewinn}) - P({Hauptgewinn}) = 90 % - 15 % = 75 %
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % gewinnst du einen Trostpreis.

Laplace-Wahrscheinlichkeiten und daraus resultierende Regeln

Ein Zufallsexperiment eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit Ergebnismenge Ω wird als Laplace-Experiment bezeichnet, falls jedes Ergebnis a ∈ Ω gleich wahrscheinlich ist.
 
Erkennen kannst du Laplace-Experimente meistens an vorliegenden Symmetrien, zum Beispiel der Form eines geworfenen Gegenstandes (Würfel, Münze) oder der Anordnung von Gewinnfeldern wie auf einem Roulette-Rad.
In einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses:
 
P = Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse
Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist ein Laplace-Experiment, weil beim Würfeln mit einem „fairen“ Würfel aufgrund der symmetrischen Form und der gleichmäßig verteilten Masse des Würfels jede der sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben liegen bleibt.Jede Zahl wird also mit Wahrscheinlichkeit 1 6 gewürfelt.
 
Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {keine 6; 6} ist kein Laplace-Experiment, weil mit geringerer Wahrscheinlichkeit eine „6“ als „keine 6“, also eines der fünf anderen Ergebnisse, gewürfelt wird.
Weil die Ergebnisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes in der Ergebnismenge festgelegt werden, muss bei der Frage, ob ein Laplace-Experiment vorliegt, auch immer die Ergebnismenge mit angegeben werden.
 
Laplace-Wahrscheinlichkeiten bestimmen Aus der Bedingung, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich sein muss, folgt zusammen mit der allgemein geltenden Summenregel eine Regel, mit der sich Laplace-Wahrscheinlichkeiten oft leicht berechnen lassen.
 
Ist in einem Laplace-Experiment zum Beispiel Ω = {1; 2; 4; 6; 8} die Ergebnismenge, so muss jedes Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 1 5 eintreten. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E = {4; 6} folgt dann:
 
kem StochW StochWGLHWuR 9 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
 
P(E) = P({4}) + P({6}) = 1 5 + 1 5 = 2 5 = |E| |Ω|
 
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, muss in Laplace-Experimenten lediglich das Verhältnis der Anzahl der enthaltenen Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse bestimmt werden.
Formel:In einem Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E:
 
P(E) = Anzahl der für das Ereignis E günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = |E| |Ω|
Ein Ergebnis a ist genau dann günstig für ein Ereignis E, wenn es ein Element der Menge E ist: a ∈ E
 
Es bedeutet, dass das Ereignis beim entsprechenden Ergebnis eintreten würde.Für eine Menge E steht |E| übrigens für die Anzahl der enthaltenen Elemente.
Gib die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E = {rot; gelb} in einem Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω = {grün; blau; rot; gelb; schwarz; weiß; rosa} an.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Du zählst die Elemente im Ereignis E (2) und in der Ergebnismenge Ω (7) und bildest den Quotienten.
P(E) = 2 7
 
Wenn du eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in einem Experiment bestimmen möchtest, das in einer Textaufgabe beschrieben wird, musst du zunächst feststellen was die Ergebnismenge ist oder wie du sie wählen kannst und ob damit ein Laplace-Experiment vorliegt oder nicht.
Beim Roulette wird eine Kugel in in ein Glücksrad mit von 0 bis 36 nummerierten und gleichmäßig verteilten Feldern gerollt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Kugel die 10, 20 oder 30 zu treffen?
 
Wähle zunächst aus, welche dieser Mengen du als Ergebnismenge Ω definieren kannst, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment zu bestimmen.
Ergebnismenge bestimmen
Auf dem Rad sind alle Felder gleich groß und symmetrisch angeordnet. Also sind für Ω = {0; 1; 2; 3; …; 36} alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
 
Insbesondere sind bei dieser Wahl von Ω auch die drei in der Aufgabe betrachteten Wurfergebnisse (10, 20 und 30) als Ergebnisse in der Menge enthalten, die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann somit durch Abzählen bestimmt werden.
 
Bei Ω = {Vielfaches von 10; kein Vielfaches von 10} gäbe es lediglich 2 Ergebnisse, nämlich „10, 20 oder 30 treffen“ oder „weder 10 noch 20 noch 30 treffen“. Also könntest du dann lediglich unterscheiden, entweder eines von drei Feldern (10, 20 und 30) zu treffen oder eines der 34 anderen Felder. Dieses Experiment wäre kein Laplace-Experiment.
 
Gerade die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „10, 20 oder 30 treffen“ ist in dieser Aufgabe zu bestimmen, die Wahl von Ω = {Vielfaches von 10; kein Vielfaches von 10} eignet sich dafür aber nicht.
kem StochW StochWGLHWuR 10 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
Antwort
Da hier ein Laplace-Experiment vorliegt, brauchst du lediglich das Verhältnis der Anzahl für das Ereignis günstiger Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse zu bestimmen.
Da es 37 verschiedene Möglichkeiten für das Ergebnis gibt und 3 davon günstig für das beschriebene Ereignis sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P({10; 20; 30}) = 3 37 .

Relative Häufigkeiten

Die relative Häufigkeit einer Eigenschaft bei Beobachtungen gibt das Verhältnis aus der Anzahl der Beobachtungen mit dieser Eigenschaft zur Gesamtanzahl aller Beobachtungen an.
 
Sie beschreibt also einen Anteil, der mindestens 0 und höchstens 1 beträgt.Als Anteil oder Verhältnis wird eine relative Häufigkeit als Dezimalzahl, oft aber auch in Prozent oder als Bruch dargestellt.
Relative Häufigkeit von A = Anzahl der Beobachtungen mit der Eigenschaft A Anzahl aller Beobachtungen
Häufigkeiten bestimmen
Beim Fußballtraining hat Marc 18 von 25 Elfmetern verwandelt. Fabian hat 16 von 20 Elfmetern verwandelt.
 
Marc: – Anzahl aller Elfmeter: 25 – Absolute Häufigkeit der Treffer: 18 – Relative Häufigkeit der Treffer: 18 25 = 0.72 = 72 %
 
Fabian: – Anzahl aller Elfmeter: 20 – Absolute Häufigkeit der Treffer: 16 – Relative Häufigkeit der Treffer: 16 20 = 0.8 = 80 %
Obwohl Marc absolut mehr Elfmeter verwandelt hat, ist die relative Häufigkeit der Treffer bei Fabian größer.
 
Relative Häufigkeiten können also hilfreich beim Vergleich verschiedener Statistiken sein, wenn die Gesamtanzahl der Beobachtungen unterschiedlich ist.
In dieser Statistik sind 530 Mitglieder eines Vereins in drei Alterskategorien unterteilt:
 
– 104 Mitglieder sind 28 Jahre oder jünger. – 201 Mitglieder sind älter als 28 Jahre und höchstens 45 Jahre alt. – 225 Mitglieder sind über 45 Jahre alt.
 
Trage die relativen Häufigkeiten in diese Tabelle ein.
Relative Häufigkeiten bestimmen
Du bildest in den drei Spalten jeweils den Quotienten aus der absoluten Häufigkeit und der Gesamtanzahl der Mitglieder (530).Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ergibt immer die Gesamtanzahl der betrachteten Elemente, hier also 530.Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt immer 1, denn die Summe der Zähler ist gerade die Summe der absoluten Häufigkeiten:
 
104 530 + 201 530 + 225 530 = 104 + 201 + 225 530 = 530 530 = 1
kem StochW StochWGLHWuR 11 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregelnkem StochW StochWGLHWuR 12 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
Absolute Häufigkeit schätzen
Du multiplizierst die berechnete relative Häufigkeit der Mitglieder über 45 mit der Gesamtanzahl der Mitglieder:
 
225 530 * 636 = 45 106 * 636 = 45 * 6 = 270
 
Achtung: Diese Art der Schätzung ist nur unter der erwähnten Voraussetzung an die Altersstruktur sinnvoll.
Von 106 weiteren Vereinsmitgliedern ist das Alter nicht bekannt.Gehe davon aus, dass die Altersstruktur aller 636 Mitglieder mit jener der 530 Mitglieder aus der Statistik übereinstimmt und schätze mit Hilfe der relativen Häufigkeiten, wie viele der insgesamt 636 Vereinsmitglieder über 45 Jahre alt sind.
 
Nach der berechneten relativen Häufigkeit sind 270 Vereinsmitglieder über 45 Jahre alt.
 
Wahrscheinlichkeiten schätzen Kann für ein Ereignis eines Zufallsexperimentes keine genaue Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, so kann man durch möglichst häufiges Durchführen dieses Experimentes eine Wahrscheinlichkeit schätzen. Dafür wird dann die beobachtete relative Häufigkeit benutzt:
 
Tritt ein Ereignis in beispielsweise 960 von 2000 identisch durchgeführten Versuchen ein, so geht man davon aus, dass dessen Wahrscheinlichkeit in diesem Experiment ungefähr 960 2000 = 48 % beträgt.
 
Umgekehrt wird angenommen, dass die relativen Häufigkeiten von Ereignissen mit steigender Anzahl der Versuche den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten immer häufiger beliebig nahe kommen.
 
Begründet werden diese Annahmen durch die Beobachtung, dass in sehr vielen Zufallsexperimenten die relativen Häufigkeiten bei steigender Anzahl der Versuche immer weniger schwanken.
 
Das nennt man auch das empirische Gesetz der großen Zahlen. Es kann nicht allgemein bewiesen werden und ist daher auch kein mathematischer Satz. Es ist eher eine Erfahrungstatsache und deutet überhaupt erst darauf hin, dass auch zufällige Erscheinungen gewissen Regelmäßigkeiten folgen.
Ein Autohersteller simuliert mit einem sogenannten Crashtest-Dummy als Fahrer des neuen Modells 2000-mal einen Auffahrunfall bei 30 km/h und überprüft nach jedem Versuch, ob ein Mensch als Fahrer dabei verletzt worden wäre.
 
Dies sind die gezählten absoluten Häufigkeiten:
 
kem StochW StochWGLHWuR 13 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nach dieser Statistik ein Fahrer dieses Autos bei einem vergleichbaren Unfall verletzt?
Wahrscheinlichkeit schätzen
Für relative Häufigkeiten gelten übrigens dieselben Rechenregeln wie für Wahrscheinlichkeiten.
Da bei 684 von den 2000 Tests ein Fahrer verletzt worden wäre, ist die nach dieser Statistik zu schätzende WahrscheinlichkeitP(Verletzung) = 684 2000 = 34,2 % .

Erwartungswerte

Wird bei einem Zufallsexperiment jedem möglichen Ergebnis eine Zahl zugeordnet, kann berechnet werden, welche Zahl bei häufigem Durchführen des Experimentes im Durchschnitt zugeordnet wird. Dieses durchschnittliche Resultat nennt man Erwartungswert.
 
Du bestimmst den Erwartungswert eines Zufallsexperimentes bezüglich einer Zuordnung Z von Zahlen, indem du für jedes der möglichen Ergebnisse e 1 , … , e n die zugeordnete Zahl mit der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses multiplizierst und anschließend die Summe dieser Produkte berechnest.
Erwartungswert = Z( e 1 ) * P( e 1 ) + Z( e 2 ) * P( e 2 ) + … + Z( e n ) * P( e n )
Gedreht wird ein Glücksrad mit 4 gleichgroßen Feldern. Eines ist gelb eines blau und zwei sind grün.
 
kem StochW StochWGLHWuR 14 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
 
Für das Drehen auf blau gibt es 3 € Gewinn, das Drehen auf grün bringt 1 € Gewinn, beim Drehen auf gelb bekommt man nichts (0 €).
 
Z ordnet jedem Ergebnis genau den zugehörigen Gewinn in Euro zu:
 
Z(blau) = 3Z(grün) = 1Z(gelb) = 0
 
Da jedes der vier Felder mit Wahrscheinlichkeit 1 4 getroffen wird, sind die Wahrscheinlichkeiten der drei Ergebnisse:P(blau) = 1 4 P(grün) = 2 4 P(gelb) = 1 4
 
Für den Erwartungswert dieses Experimentes gilt somit:
 
kem StochW StochWGLHWuR 15 Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln
Bei häufigem Drehen ist im Durchschnitt ein Gewinn von circa 1,25 € pro Dreh zu erwarten, auch wenn 1,25 € selber bei keinem möglichen Ergebnis nach einmaligem Drehen der Gewinn ist.
 
Das Angebot bezeichnet man im Sinne der Wahrscheinlichkeiten als „fair“, wenn der Einsatz für einmal Drehen 1,25 € beträgt, also dem durchschnittlich erwarteten Gewinn pro Dreh entspricht.
 
Ist der Einsatz höher, musst du bei häufigem Spielen von einem Verlust ausgehen.Ist der Einsatz niedriger, kannst du hingegen bei häufigem Spielen von einem Gewinn ausgehen.