Größen berechnen

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Hier erfährst du, wie du in Strahlensatzfiguren unbekannte Streckenlängen mit Hilfe der beiden Strahlensätze berechnest.

Streckenlängen in der V-Figur berechnen

Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst.
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 1 Größen berechnen
Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x 2 = 3.6 2.4 .Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y 3 = 3.6 + 2.4 3.6
Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x . (Maße in cm)
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 2 Größen berechnen
Verhältnisgleichung wählen
In der ersten Gleichung wurden nicht die entsprechenden Strahlenabschnitte gewählt. In der dritten Gleichung könntest du den zweiten Strahlensatz vermuten, da hier die Parallelenabschnitte verwendet werden, aber die Strecke x kommt im zweiten Strahlensatz nicht als Strahlenabschnitt vor.
kem Geo3 Geo3StrSGbe 3 Größen berechnen
x berechnen
Du berechnest x , indem du die Verhältnisgleichung nach x auflöst:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 4 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 5 Größen berechnen
x = 2.5
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in dm)
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 6 Größen berechnen
Streckenlängen berechnen
Um x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz. Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach x auf:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 7 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 8 Größen berechnen
 
Um y zu berechnen, verwendest du den zweiten Strahlensatz.
 
Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach y auf:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 9 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 10 Größen berechnen
x = 2.5 y = 2
Bestimme die Streckenlänge x mit Hilfe der Verhältnisgleichung: x x + 1.5 = 3.3 4.4
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 11 Größen berechnen
x berechnen
Die Gleichung löst du nach x auf:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 12 Größen berechnen
x = 4.5

Streckenlängen in der X-Figur berechnen

Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst.
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 13 Größen berechnen
Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x 10 = 4.5 15 .
 
Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y 3 = 15 4.5
Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x . (Maße in cm)
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 14 Größen berechnen
Verhältnisgleichung wählen
In der ersten Gleichung wurden nicht die entsprechenden Geradenabschnitte gewählt.
 
In der zweiten Gleichung könntest du den zweiten Strahlensatz vermuten, da hier die Parallelenabschnitte verwendet werden, aber diese wurden falsch zugeordnet.
kem Geo3 Geo3StrSGbe 15 Größen berechnen
x berechnen
Du berechnest x , indem du die Verhältnisgleichung nach x auflöst:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 16 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 17 Größen berechnen
x = 1.6
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in cm)
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 18 Größen berechnen
Streckenlängen berechnen
In dieser Strahlensatzfigur ist es egal welche Streckenlänge du zuerst berechnest.
 
Um x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz. Zunächst stellst du eine Verhältnisgleichung auf und löst sie anschließend nach x auf:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 19 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 20 Größen berechnen
 
Um y zu berechnen, verwendest du den zweiten Strahlensatz. Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach y auf:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 21 Größen berechnen
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 22 Größen berechnen
x = 2.4
 
y = 4.2
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in cm)
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 23 Größen berechnen
Streckenlängen berechnen
Um x zu berechnen, benötigst du y :
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 24 Größen berechnen
 
Du kannst nun x berechnen, indem du eine Verhältnisgleichung aufstellst und diese dann nach x auflöst:
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 25 Größen berechnen
x = 2.5 y = 3

Umkehrsatz des ersten Strahlensatzes

Die Strahlensätze sind in der Wenn-Dann-Form formuliert. Erster Strahlensatz (V-Figur):
 
Wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten werden, dann verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
 
Durch Vertauschung von Voraussetzung (Wenn-Teil) und Behauptung (Dann-Teil) erhältst du den ebenfalls gültigen Umkehrsatz:
 
Wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Geraden geschnitten werden und sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl verhalten, dann sind die beiden Geraden zueinander parallel.
überprüfe rechnerisch, welche Geraden parallel sind.
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 26 Größen berechnen
Die Parallelität der Geraden g, h und s prüfst du, indem du nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse aufstellst und ihre Gleichheit überprüfst.
 
Geraden g und h: 2 2.4 = 3 3.6 kem Geo3 Geo3StrSGbe 27 Größen berechnen Die Gleichheit ist erfüllt, also sind die Geraden g und h nach dem Umkehrsatz parallel.
 
Geraden g und s: 2 3.9 3 5.9 kem Geo3 Geo3StrSGbe 28 Größen berechnen Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden g und s nicht parallel.
 
Geraden h und s: 4.4 1.5 6.6 2.3 kem Geo3 Geo3StrSGbe 29 Größen berechnen Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden h und s nicht parallel.
Die Geraden
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 30 Größen berechnen
 
sind parallel.
 
Die Geraden g und h sind parallel.
Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht.
Wenn eine Figur wie oben z.B. mit den Maßen α = 30 ° , a = 1.5 cm , b = 4.5 cm , m = 0.9 cm und n = 2.7 cm angefertigt werden soll, dann ist das Dreieck ABS nicht eindeutig konstruierbar.
 
Es sind zwar die Seiten b und n sowie der Winkel α gegeben, allerdings ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfüllt, da der Winkel α der kürzeren Seite n gegenüber liegt. Damit ist die Eindeutigkeit nicht gegeben.
kem Geo3 Geo3StrSGbe 31 Größen berechnen
Die Strahlensätze sind in der Wenn-Dann-Form formuliert. Erster Strahlensatz (X-Figur):
 
Wenn zwei Geraden mit einem Schnittpunkt von zwei Parallelen geschnitten werden, dann verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden.
 
Wenn du die Voraussetzung (Wenn-Teil) und Behauptung (Dann-Teil) vertauschst, dann erhältst du den ebenfalls gültigen Umkehrsatz:
 
Wenn zwei Geraden mit einem Schnittpunkt von zwei Geraden geschnitten werden und sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden verhalten, dann sind die beiden Geraden, die die zwei sich schneidenden Geraden schneiden, zueinander parallel.
überprüfe rechnerisch, welche Geraden parallel sind.
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 32 Größen berechnen
Die Parallelität der Geraden g, h und s prüfst du, indem du nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse aufstellst und ihre Gleichheit überprüfst.
 
Geraden g und h: 1.2 1 = 1.5 1.25 kem Geo3 Geo3StrSGbe 33 Größen berechnen Die Gleichheit ist erfüllt, also sind die Geraden g und h nach dem Umkehrsatz parallel.
 
Geraden g und s: 1.2 2.5 1.5 3.05 kem Geo3 Geo3StrSGbe 34 Größen berechnen Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden g und s nicht parallel.
 
Geraden h und s: 1 1.5 1.25 1.8 kem Geo3 Geo3StrSGbe 35 Größen berechnen Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden h und s nicht parallel.
Die Geraden
 
kem Geo3 Geo3StrSGbe 36 Größen berechnen
 
sind parallel.
 
Die Geraden g und h sind parallel.
Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht.
Wenn eine Figur wie oben z.B. mit den Maßen α = 30 ° , a = 1.5 cm , b = 4.5 cm , m = 0.9 cm und n = 2.7 cm angefertigt werden soll, dann ist das Dreieck ABS nicht eindeutig konstruierbar.
 
Es sind zwar die Seiten b und n sowie der Winkel α gegeben, allerdings ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfüllt, da der Winkel α der kürzeren Seite n gegenüber liegt. Damit ist die Eindeutigkeit nicht gegeben.
kem Geo3 Geo3StrSGbe 37 Größen berechnen