Funktionsgleichung bestimmen

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In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Funktionsgleichungen zu linearen Funktionen aufstellen kannst.

Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Gleichung hat die Form y = m x + b .
 
Dabei bezeichnet m den Wert für die Steigung und b den y -Achsenabschnitt.
 
Hast du von einer linearen Funktion den Graphen, also die Gerade gegeben, kannst du beide Werte direkt der graphischen Darstellung entnehmen.
Bestimme zum abgebildeten Graphen die Funktionsgleichung.
 
kem FuD FuDLFFBes 1 Funktionsgleichung bestimmen
Gleichung aufstellen
Die Gerade schneidet die y-Achse an der Stelle -4 kem FuD FuDLFFBes 2 Funktionsgleichung bestimmen b = -4
 
Am Steigungsdreieck kannst du ablesen, dass die Gerade die Steigung m = 3 hat.
 
kem FuD FuDLFFBes 3 Funktionsgleichung bestimmen
y = 3 x - 4
Bestimme zum abgebildeten Graphen die Funktionsgleichung.
 
kem FuD FuDLFFBes 4 Funktionsgleichung bestimmen
Gleichung aufstellen
Die Gerade schneidet die y-Achse an der Stelle 1 kem FuD FuDLFFBes 5 Funktionsgleichung bestimmen b = 1
 
Am Steigungsdreieck kannst du ablesen, dass die Gerade hat die Steigung m = - 2 3 hat.
 
kem FuD FuDLFFBes 6 Funktionsgleichung bestimmen
y = - 2 3 x + 1

Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte

Viele Zusammenhänge in Natur und Technik lassen sich durch lineare Funktionen beschreiben.
 
Oft haben die besonderen Punkte der Graphen (Nullstelle, y-Achsenabschnitt, Schnittpunkte mit anderen Graphen) in diesen Beispielen auch eine besondere Bedeutung.
In einer Region ist eine bestimmte Pflanzenart an einem Virus erkrankt. Der Prozentsatz der kranken Pflanzen wird alle 5 Jahre erfasst und registriert.
 
Eine lineare Funktion beschreibt den Trend recht gut, der Anteil der kranken Pflanzen nimmt ab, die Pflanzen werden immun gegen den Virus.
 
Bei der ersten Zählung werden 80 % der Pflanzen als krank gezählt.
 
Welcher Anteil der Pflanzen wird nach 70 Jahren noch krank sein?
 
Wann wird es voraussichtlich in dieser Region erstmalig keine kranken Pflanzen mehr geben?
 
kem FuD FuDLFFBes 7 Funktionsgleichung bestimmen
Funktionsgleichung aufstellen
kem FuD FuDLFFBes 8 Funktionsgleichung bestimmen
 
Die Steigung der Geraden ermittelst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks:
 
m = - 30 35 = - 6 7
 
Die Gerade schneidet die y-Achse an der Stelle b = 80 . Bei der ersten Zählung waren 80 % aller Pflanzen erkrankt.
y = - 6 7 x + 80
Funktionswert berechnen
Du setzt den Wert 70 für x in die Funktionsgleichung ein und berechnest y.
 
kem FuD FuDLFFBes 9 Funktionsgleichung bestimmen
f(70) = 20
Nullstelle berechnen
Der berechnete Zeitpunkt, zu dem voraussichtlich keine kranken Pflanzen mehr gezählt werden, entspricht der Nullstelle der Funktion.
 
Du berechnest die Nullstelle (f(x) = 0) indem du 0 für y in die Funktionsgleichung einsetzt und die Gleichung nach x auflöst.
 
kem FuD FuDLFFBes 10 Funktionsgleichung bestimmen
 
Da die Zählung alle 5 Jahre stattfindet, wird man voraussichtlich erstmalig bei der Zählung nach 95 Jahren keine kranken Pflanzen mehr finden.
x = 93 1 3

Funktionsgleichungen mit Punkt und Steigung bestimmen

Hast du von der Funktion die Steigung und einen Punkt des Graphen gegeben, kannst du den y-Achsenabschnitt rechnerisch bestimmen.
Der Graph einer linearen Funktion f verläuft durch den Punkt P( 2 | -5 ) und hat die Steigung m = - 3 2 .
 
Bestimme die Funktionsgleichung von f.
 
Der Punkt Q( -2 |y) liege ebenfalls auf dem Graphen der Funktion.
 
Bestimme die y-Koordinate.
Funktionsgleichung angeben
Der Punkt P( 2 | -5 ) liegt auf der Geraden. Also erfüllen seine Koordinaten die zugehörige Funktionsgleichung.
 
Die Funktionsgleichung hat die Form y = - 3 2 x + b
 
Du bestimmst den y-Achsenabschnitt b, indem du die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung einsetzt und die Gleichung nach b auflöst:
 
kem FuD FuDLFFBes 11 Funktionsgleichung bestimmen
y = - 3 2 x - 2
y-Koordinate des Punktes Q bestimmen
Du setzt die x-Koordinate des Punktes Q in die Funktionsgleichung ein und berechnest y.
 
kem FuD FuDLFFBes 12 Funktionsgleichung bestimmen
y = 1
 
Q( -2 | 1 )

Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Hast du von der Funktion zwei Punkte P und Q des Graphen gegeben, kannst du die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel
 
m = y q - y p x q - x p
 
rechnerisch bestimmen.
 
Mit Hilfe der Funktionsgleichung kannst du dann überprüfen, ob ein beliebiger weiterer Punkt auch auf dem Graphen der Funktion liegt.
Bestimme die Funktionsgleichung zur Geraden, die durch die Punkte P( -2 | 2 ) und Q( 4 | -1 ) verläuft.
 
überprüfe, ob die Punkte R( -4 | 3 ) und S( 1 | 1 ) auf der Geraden liegen.
Steigung mit Hilfe der Steigungsformel berechnen
Du setzt die Koordinaten der Punkte P und Q in die Steigungsformel ein und berechnest die Steigung.
kem FuD FuDLFFBes 13 Funktionsgleichung bestimmen
y-Achsenabschnitt bestimmen und Funktionsgleichung angeben
Du setzt die Koordinaten eines der beiden Punkte in die Funktionsgleichung y = - 1 2 x + b ein und löst die Gleichung nach b auf.
 
Mit P( -2 | 2 ) gilt:
 
kem FuD FuDLFFBes 14 Funktionsgleichung bestimmen
b = 1
 
y = - 1 2 x + 1
Zugehörigkeit des Punktes R überprüfen
Du setzt die Koordinaten des Punktes R in die Funktionsgleichung ein und überprüfst, ob eine wahre Aussage entsteht.
 
kem FuD FuDLFFBes 15 Funktionsgleichung bestimmen
Der Punkt R( -4 | 3 ) liegt auf der Geraden.
Zugehörigkeit des Punktes S überprüfen
Du setzt die Koordinaten des Punktes S in die Funktionsgleichung ein und überprüfst, ob eine wahre Aussage entsteht.
 
kem FuD FuDLFFBes 16 Funktionsgleichung bestimmen
Der Punkt S( 1 | 1 ) liegt nicht auf der Geraden.