Exponentielles Wachstum

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Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent

Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 1 Exponentielles Wachstum
Eine Zunahme um 25 % entspricht einem Wachstumsfaktor
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 2 Exponentielles Wachstum
 
Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um 25 % , dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien.
 
200 * 1.25 = 250
 
Eine Abnahme um 20 % entspricht einem Wachstumsfaktor
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 3 Exponentielles Wachstum
 
Eine Maschine mit einem Neuwert von 20000 hat bei einem jährlichen Wertverlust von 20 % nach einem Jahr einen Wert von 16000 .
 
20000 * 0.8 = 16000
 

Berechnungen zum exponentiellen Wachstum

Willst du die Werte einer exponentiell zu- oder abnehmenden Größe über mehrere Schritte hinweg berechnen, verwendest du Potenzen des Wachstumsfaktors b .
 
Hat die Größe den Anfangswert G 0 , dann gilt für den Wert G n (nach n Schritten):
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 4 Exponentielles Wachstum
 
Die Zahl der in einer Petrischale kultivierten Zellen verdoppelt sich stündlich.Bei einem Anfangswert von 46 Zellen befinden sich nach 3 Stunden 368 Zellen und nach 5 Stunden 1472 Zellen in der Schale.
 
G 0 = 46
 
Verdopplung pro Schritt kem ExpLog ExpLogWachEWa 5 Exponentielles Wachstum
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 6 Exponentielles Wachstum
 
Umgekehrt kannst du den Anfangswert G 0 berechnen oder den Wachstumsfaktor b:
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 7 Exponentielles Wachstum
 

Berechnungen mit Anteilen von Wachstumsschritten

In der Gleichung
 
G n = G 0 * b n
 
bestimmt die Anzahl n der Wachstumsschritte den Exponenten des Wachstumsfaktors.
 
Auch zur Berechnung von Werten zwischen zwei ganzen Schritten kannst du Potenzen des Wachstumsfaktors verwenden.Der Exponent ist dann der Anteil am ganzen Schritt.
Na-24 hat eine Halbwertszeit von ca. 15 Stunden. Eine Materialprobe enthält zu Beginn einer Versuchsreihe 12 mg des Natrium-Isotops Na-24.
 
Bestand nach k Stunden:
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 8 Exponentielles Wachstum
 
G n = 12 * 1 2 k 15
 
kem ExpLog ExpLogWachEWa 9 Exponentielles Wachstum