Einführung in quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form
 
f x = a x 2 + b x + c mit a 0
 
darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.
 
Ihre Graphen heißen Parabeln.
 
Die Gleichung y = a x 2 + b x + c heißt Parabelgleichung.
 
Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.
 
Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x 2 .
 
Ihr Graph ist die Normalparabel.
 
kem QFuG QFuGGrEinf 1 Einführung in quadratische Funktionen
 
Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.
y = f x = -2 x 2 + 3 y = f 2 = -2 * 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstellekem QFuG QFuGGrEinf 2 Einführung in quadratische Funktionen
 
y-Achsenabschnittkem QFuG QFuGGrEinf 3 Einführung in quadratische Funktionen
 
kem QFuG QFuGGrEinf 4 Einführung in quadratische Funktionen
 
Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt ( Maximum ).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt ( Minimum ).
 
Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch Parameter verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.
 
kem QFuG QFuGGrEinf 5 Einführung in quadratische Funktionen

Symmetrieeigenschaften der Parabel

Eine Parabel ist achsensymmetrisch . Die Symmetrieachse verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.
 
kem QFuG QFuGGrEinf 6 Einführung in quadratische Funktionen
 
Zu zwei verschiedenen Punkten mit gleichen y-Koordinaten auf einer unverzerrten Parabel kannst du leicht die x-Koordinaten bestimmen, wenn du den Scheitelpunkt der Parabel kennst.
kem QFuG QFuGGrEinf 7 Einführung in quadratische Funktionen
 
Die Punkte P 1 und P 2 haben in y-Richtung den Abstand 1 - -3 = 4 vom Scheitelpunkt.Folglich haben die Punkte in x-Richtung den Abstand 4 = 2 vom Scheitelpunkt.
 
2 + 2 = 4 und 2 - 2 = 0
Mit den Nullstellen der Funktion kannst du den Scheitelpunkt schnell bestimmen.
kem QFuG QFuGGrEinf 8 Einführung in quadratische Funktionen
 
Nullstellen: x 1 = 0 und x 2 = 4
 
Die Nullstellen haben von der Symmetrieachse denselben Abstand.
 
Folglich liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes in der Mitte zwischen den Nullstellen. x s = 2
 
Du berechnest den zugehörigen Funktionswert durch Einsetzen in den Funktionsterm : f 2 = 2 2 - 4 * 2 = -4

Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion

Der Definitionsbereich D einer quadratischen Funktion f ist ℝ, da jede reelle Zahl an Stelle von x in den Funktionsterm f x eingesetzt werden kann.
 
Der kleinstmögliche Wertebereich W einer quadratischen Funktion besteht in Abhängigkeit vom Funktionsterm entweder
 
kem QFuG QFuGGrEinf 9 Einführung in quadratische Funktionen
 
oderkem QFuG QFuGGrEinf 10 Einführung in quadratische Funktionen
kem QFuG QFuGGrEinf 11 Einführung in quadratische Funktionen
 
D = und W = { y | y 2 }