Eigenschaften von Potenzfunktionen

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Symmetrien bei Potenzfunktionen

Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen.
Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ist eine gerade Funktion .
 
Es gilt f x = f - x für alle reellen Zahlen x.
 
Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit f x = 1 32 x 4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
 
Es gilt: f -4 = 8 = f 4 .
 
kem GanRF GanRFPFEig 1 Eigenschaften von Potenzfunktionen
 
 
Eine allgemeine Potenzfunktion g mit ungeradem Grad ist eine ungerade Funktion .
 
Es gilt g - x = - g x für alle reellen Zahlen x.
 
Jeder Punkt x | g x wird bei Punktspiegelung am Koordinatenursprung auf den Punkt - x | - g x abgebildet. Der Graph ist also punktsymmetrisch mit dem Punkt 0 | 0 als Symmetriezentrum .
Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion g mit g x = 1 16 x 3 ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
 
Es gilt: g -4 = -4 = - g 4 .
 
kem GanRF GanRFPFEig 2 Eigenschaften von Potenzfunktionen

Monotonie von Potenzfunktionen

Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ändert am Koordinatenursprung ihr Monotonieverhalten. Der Punkt 0 | 0 ist also ein Extrempunkt.
 
Ist der Koeffizient positiv, so ist f monoton fallend für x lt 0 und monoton wachsend für x gt 0 . Dann ist der Punkt 0 | 0 ein Tiefpunkt des Graphen.
 
Ist der Koeffizient negativ, so ist f monoton wachsend für x lt 0 und monoton fallend für x gt 0 . Dann ist der Punkt 0 | 0 ein Hochpunkt des Graphen.
kem GanRF GanRFPFEig 3 Eigenschaften von Potenzfunktionen
 
Eine allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad ist durchgehend monoton wachsend oder monoton fallend.
 
Ist der Koeffizient positiv, so ist sie monoton wachsend.
 
Ist der Koeffizient negativ, so ist sie monoton fallend.
 
Die Funktion hat keine Extremstellen .
kem GanRF GanRFPFEig 4 Eigenschaften von Potenzfunktionen

Krümmung bei Potenzfunktionen

Der Graph einer allgemeinen Potenzfunktion von ungeradem Grad ändert am Koordinatenursprung sein Krümmungsverhalten.
 
Ist der Koeffizient der allgemeinen Potenzfunktion positiv, so ist der Graph rechtsgekrümmt für x lt 0 und linksgekrümmt für x gt 0 .
 
Ist der Koeffizient negativ, so ist der Graph linksgekrümmt für x lt 0 und rechtsgekrümmt für x gt 0 .
 
Der Punkt 0 | 0 ist also ein Wendepunkt .
kem GanRF GanRFPFEig 5 Eigenschaften von Potenzfunktionen
 
Der Graph einer allgemeinen Potenzfunktion von geradem Grad und positivem Koeffizienten ist überall linksgekrümmt. Bei einem negativem Koeffizienten ist er überall rechtsgekrümmt.
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