Eigenschaften von Exponentialfunktionen

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Eigenschaften der Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b gt 0 , b 1 enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b .
 
Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.
kem ExpLog ExpLogExpEig 1 Eigenschaften von Exponentialfunktionen
 
Der Graph enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | 3 .Funktionsterm : f ( x ) = 3 x
Der Definitionsbereich D einer Exponentialfunktion ist ℝ, der kleinstmögliche Wertebereich W ist 0 ; . Exponentialfunktionen haben also keine Nullstelle .
 
Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion.
 
Exponentialfunktionen mit b gt 1 sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit 0 lt b lt 1 sind monoton fallend.
 
Die Graphen der Exponentialfunktionen y = b x und y = 1 b x = b - x sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse.
f mit f ( x ) = 2 x und g mit g ( x ) = 1 2 x
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 2 Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Die allgemeine Exponentialfunktion

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit y = b x .
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 3 Eigenschaften von Exponentialfunktionen
 
Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.
 
Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a * b x
 
Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn die Exponentialkurve der normalen Exponentialfunktion y = b x wird gestreckt a gt 1 oder gestaucht 0 lt a lt 1 .
 
Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionen enthalten die Punkte 0 | a und 1 | b * a .
 
Für a gt 0 ist der kleinstmögliche Wertebereich W = 0 ; , für a lt 0 ist W = - ; 0 .
 
Die Graphen haben also keine Nullstellen .
 
Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion.
f mit f ( x ) = 2 * 3 x g mit g ( x ) = 1 2 * 3 x h mit h ( x ) = -2 * 3 x
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 4 Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Verschiebung in y-Richtung

In der Funktionsgleichung y = a * b x + d bewirkt der Parameter d eine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion y = a * b x in y-Richtung.
 
Für d gt 0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d lt 0 nach unten.
 
Durch die Verschiebung ändert sich im Fall a gt 0 der Wertebereich W zu d ; .
 
Die Asymptote wird verschoben nach y = d .
 
Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.
f mit f ( x ) = 2 * 1.5 x + 2 g mit g ( x ) = 2 * 1.5 x h mit h ( x ) = 2 * 1.5 x - 2
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 5 Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Verschiebung in x-Richtung

In der Funktionsgleichung y = a * b x + c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve y = a * b x in x-Richtung.
 
Für c gt 0 erfolgt die Verschiebung nach links, für c lt 0 nach rechts.
 
Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich W nicht.
f mit f ( x ) = 2 * 1.5 x + 2 g mit g ( x ) = 2 * 1.5 x h mit h ( x ) = 2 * 1.5 x - 2
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 6 Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Funktionen der Form y = a * b x + c sind auch allgemeine Exponentialfunktionen , denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden.
 
Für y = a * b x mit b gt 1 entspricht die Verschiebung um c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor b c , denn a * b x + c = a * b x * b c .
 
Die Verschiebung um c Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor 1 b c , denn a * b x - c = a * b x * b - c = a * b x * 1 b c .
Die Verschiebung der Exponentialkurve y = 2 x um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8.
 
y = 2 x + 3 = 8 * 2 x
Mit Hilfe von Potenzgesetzen erhältst du
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 7 Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Die Stauchung der Exponentialkurve y = 2 x mit dem Faktor 1 4 entspricht einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts.
 
y = 1 4 * 2 x = 2 x - 2
Mit Hilfe von Potenzgesetzen erhältst du
 
kem ExpLog ExpLogExpEig 8 Eigenschaften von Exponentialfunktionen