Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze

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Kongruenzsätze

Zwei Figuren sind kongruent , wenn du sie so übereinander legen kannst, dass sie passgenau aufeinander liegen.
 
Du kannst dann eine Figur durch Spiegelung an einer Achse, Verschiebung oder Drehung auf die andere abbilden .
 
Hier siehst du für ein Dreieck 1 ein gespiegeltes Dreieck 2, dieses verschoben zum Dreieck 3 und weiter gedreht zum Dreieck 4.
 
Alle vier Dreiecke sind zueinander kongruent.
Es gibt vier Kongruenzsätze für Dreiecke.
 
kem GeoII GeoIIDreiKon 1 Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze

Konstruktionen mit Kongruenzsätzen

Du kannst ein Dreieck konstruieren, wenn die gegebenen Stücke einen der Kongruenzsätze erfüllen und die Seitenlängen die Dreiecksungleichungen erfüllen.
 
Denn dann sind alle Dreiecke, die du mit den gegebenen Stücken konstruieren kannst zueinander kongruent.
 
Bevor du mit der Konstruktion beginnst, zeichnest du dir eine Planfigur, in der du die gegebenen Stücke farbig hervorhebst. Achte dabei auf die richtige Beschriftung.
 
Sind drei Seitenlängen gegeben (sss), überprüfst du zuerst, ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist.
Dreieck ABC mit a = 7 cm , b = 6 cm und α = 60 °
 
kem GeoII GeoIIDreiKon 2 Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze

Konstruierbarkeit von Dreiecken und Sonderfälle

Hast du nur zwei Größen gegeben, oder drei Größen, die zu keinem Kongruenzsatz passen, dann kannst du entweder gar kein Dreieck , zwei verschiedene Dreiecke oder unendlich viele verschiedene Dreiecke konstruieren.
 
Die Konstruktion ist dann nicht eindeutig, wenn
 
zwei Seitenlängen gegeben sind,
 
eine Seitenlänge und ein Winkel gegeben sind,
 
drei Winkel gegeben sind.
 
Im letzten Fall muss die Innenwinkelsumme 180 ° betragen.
Dreieck ABC mit c = 3 cm , b = 5 cm und γ = 40 °
 
kem GeoII GeoIIDreiKon 3 Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze