Berechnungen an Figuren und Körpern

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Hier erfährst du, wie du mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen in Figuren und Körpern berechnen kannst.

Höhe im gleichseitigen Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt:
 
h = a 2 3
kem GeoII GeoIISGdPBFK 1 Berechnungen an Figuren und Körpern
 
Durch die Höhe wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt.Die Kathetenlängen sind h und a 2 , die Hypotenusenlänge ist a .
 
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a 2 = h 2 + a 2 2
 
Du stellst nach h 2 um, ziehst die Wurzel und vereinfachst so weit wie möglich:
 
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Also:
 
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Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 4 cm
 
Höhe h (in cm): kem GeoII GeoIISGdPBFK 4 Berechnungen an Figuren und Körpern

Diagonale im Quadrat

In einem Quadrat mit der Seitenlänge a gilt für die Länge der Diagonale d :
 
d = a 2
kem GeoII GeoIISGdPBFK 5 Berechnungen an Figuren und Körpern
 
Die Diagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ABC. Die Katheten in diesem Dreieck sind die Seiten des Quadrats.
 
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:kem GeoII GeoIISGdPBFK 6 Berechnungen an Figuren und Körpern
 
Du ziehst die Wurzel:
 
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Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm
 
Länge der Diagonale d (in cm): kem GeoII GeoIISGdPBFK 8 Berechnungen an Figuren und Körpern

Raumdiagonale im Quader

In einem Quader mit den Kantenlängen a , b und c gilt für die Länge der Raumdiagonale d :
 
d = a 2 + b 2 + c 2
kem GeoII GeoIISGdPBFK 9 Berechnungen an Figuren und Körpern
 
Die Raumdiagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ACG, die Katheten sind die Seiten c und e .
 
Also: d 2 = e 2 + c 2
 
Seite e wiederum ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ABC, mit den Katheten a und b .
 
Also: e 2 = a 2 + b 2
 
Du setzt den Term auf der rechten Seite dieser Gleichung für e 2 in der ersten Gleichung ein und ziehst anschließend die Wurzel:
 
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Quader mit den Kantenlängen 2 cm , 3 cm und 4 cm
 
Länge der Raumdiagonale d (in cm): kem GeoII GeoIISGdPBFK 11 Berechnungen an Figuren und Körpern

Höhe einer Pyramide

Kennst du von einer vierseitigen Pyramide die Länge der Kanten, dann kannst du auch ihre Höhe berechnen.
 
Hierfür benötigst du zusätzlich eine der Diagonalen der rechteckigen Grundfläche.
 
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Die Höhe ist im Dreieck AFS eine Kathete und es gilt:
 
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Die Diagonale e ist im Dreieck ABC Hypotenuse und es gilt:
 
e 2 2 = a 2 2 + b 2 2
 
Einsetzen ergibt:
 
h 2 = s 2 - a 2 2 + b 2 2
 
Also:
 
h = s 2 - a 2 2 + b 2 2
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Höhe h (in cm): kem GeoII GeoIISGdPBFK 15 Berechnungen an Figuren und Körpern