Begründen und Beweisen

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Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras beweisen kannst.Der Satz ist nach Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr.; † nach 510 v. Chr.) benannt.
 
Er war aber schon lange vor Pythagoras bekannt.Die Babylonier und ägypter haben bereits um 1600 v. Chr. die Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck erkannt und sie als selbstverständlich hingenommen.

Begründen und beweisen

Ein Beweis ist eine logische Begründung mit Allgemeingültigkeit.
 
Möchtest du zum Beispiel den Satz des Pythagoras beweisen, so genügt es nicht, die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 an einigen rechtwinkligen Dreiecken exemplarisch nachzuprüfen.
 
Auch die Begründung „Es wurde noch kein Gegenbeispiel gefunden“ reicht nicht aus.
 
Die Gültigkeit des Satzes muss für alle rechtwinkligen Dreiecke nachgewiesen werden, erst dann handelt es sich um einen mathematischen Beweis.
 
Es gibt Hunderte von Beweisen des Satzes des Pythagoras, die teilweise aber nur sehr wenig voneinander abweichen.
 
Daher werden schon lang bekannte Beweise auch immer wieder neu entdeckt.
 
Einer dieser Beweise wird Leonardo da Vinci zugesprochen und auch der amerikanische Präsident James Abraham Garfield hat einen Beweis geliefert.
Altindischer „Stuhl der Braut“.
 
Der Satz des Pythagoras wird hier folgendermaßen interpretiert:
 
Aus zwei Quadraten (die Kathetenquadrate) wird durch Zerlegung ein Quadrat (das Hypotenusenquadrat).
 
Abgeschnitten wird jeweils genau das rechtwinklige Dreieck, zu dem die Katheten und die Hypotenuse gehören.
 
Die Animation veranschaulicht die Beweisidee.
 
Diese Zerlegung der Kathetenquadrate in Einzelteile, die sich zum Hypotenusenquadrat neu zusammensetzen lassen, funktioniert für alle rechtwinkligen Dreiecke.
Ergänzungsbeweis
 
Dieser Beweis hat seinen Ursprung vermutlich auch im alten Indien.
 
Die Idee ist, einerseits das Hypotenusenquadrat und andererseits die beiden Kathetenquadrate durch jeweils vier identische Dreiecke so zu ergänzen, dass zwei gleich große Quadrate entstehen.
 
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c (Ausgangsdreieck).kem GeoII GeoIISGdPWiss 1 Begründen und Beweisen
 
Du betrachtest diese beiden Figuren.
 
Figur 1 entsteht, indem du das Hypotenusenquadrat ergänzt durch vier Dreiecke, die kongruent sind zum Ausgangsdreieck.Figur 2 entsteht, indem du die beiden Kathetenquadrate ergänzt durch vier Dreiecke, die kongruent sind zum Ausgangsdreieck.kem GeoII GeoIISGdPWiss 2 Begründen und Beweisenkem GeoII GeoIISGdPWiss 3 Begründen und Beweisen
 
In beiden Figuren ergänzen sich blaue und orange Flächen zu demselben Quadrat mit der Seitenlänge a+b.
 
Da die orange Fläche (vier kongruente Dreiecke) in beiden Figuren gleich groß ist, ist auch die blaue Fläche in beiden Figuren gleich groß ist. Also sind die beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.
 
Das funktioniert aber nur, wenn das Ausgangsdreieck rechtwinklig ist.
 
Ist es nicht rechtwinklig, so ergänzen sich blaue und orange Flächen nicht zu einem Quadrat, sondern zu einem Achteck.kem GeoII GeoIISGdPWiss 4 Begründen und Beweisen
 
Wieso entsteht eine Ecke im Punkt A?
 
In dem Ausgangsdreieck gilt γ > 90 ° . Daraus folgt α + β < 90 ° . Also ergeben der rechte Winkel im Punkt A zusammen mit den Winkeln α und β keinen gestreckten Winkel. Es entsteht eine Ecke.
Neben den geometrischen Beweisen gibt es auch algebraische Beweise für den Satz des Pythagoras.
 
In einem solchen Beweis wird eine Gleichung aufgestellt, aus der die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 folgt.
 
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c (Ausgangsdreieck).
 
Du möchtest die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 herleiten.kem GeoII GeoIISGdPWiss 5 Begründen und Beweisen
 
Hierzu setzt du vier Kopien des Ausgangsdreiecks zu der folgenden Figur zusammen:kem GeoII GeoIISGdPWiss 6 Begründen und Beweisen
 
Es entsteht ein Quadrat (in Blau) in der Mitte der Figur. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge b-a:kem GeoII GeoIISGdPWiss 7 Begründen und Beweisen
 
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist gleich der Summe der Flächeninhalte seiner Teilflächen.
 
Du berechnest die einzelnen Flächeninhalte:
 
Flächeinhalt des großen Quadrats: c 2
 
Flächeninhalt eines Dreiecks (in Orange): ab 2
 
Flächeninhalt aller vier Dreiecke zusammen: 4 ab 2 = 2 ab
 
Flächeninhalt des kleinen Quadrats (in Blau): b - a 2
 
Also gilt:
 
c 2 = 2 a b + a - b 2
 
Mit Hilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachst du die Gleichung:
 
c 2 = 2 a b + a 2 - 2 a b + b 2 = a 2 + b 2
 
und erhältst die Formel c 2 = a 2 + b 2 .
 
An welcher Stelle wird in diesem Beweis eigentlich verwendet, dass das Ausgangsdreieck rechtwinklig ist?
 
Zur Beantwortung dieser Frage versuchst du, den Beweis auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck zu übertragen. In diesem Beispiel gilt γ > 90 ° .kem GeoII GeoIISGdPWiss 8 Begründen und Beweisen
 
Du setzt vier Kopien dieses Dreiecks zu der folgenden Figur zusammen: kem GeoII GeoIISGdPWiss 9 Begründen und Beweisen
 
In der Mitte der Figur entsteht kein Quadrat(in Blau). Denn aus γ > 90 ° folgt α + β < 90 ° . Also füllen zwei benachbarte Dreiecke nicht die rechtwinkligen Ecken des großen Quadrats aus.
Leonie und Paul haben als Vorlage dasselbe rechtwinklige Ausgangsdreieck ABC mit den Seitenlängen a = 3 cm , b = 4 cm , c = 5 cm .
 
Leonie verdoppelt alle Seiten des Ausgangsdreiecks. Paul hingegen verlängert die Seiten des Ausgangsdreiecks jeweils um 1 cm .
 
Sind die beiden neuen Dreiecke rechtwinklig?kem GeoII GeoIISGdPWiss 10 Begründen und Beweisen
 
Leonies neues Dreieck ist rechtwinklig, Pauls Dreieck ist nicht rechtwinklig.
 
Begründung:Leonie verdoppelt alle Seiten des Augangsdreiecks und erhält ein neues Dreieck mit den Seitenlängen a’= 6 cm , b’= 8 cm und c’= 10 cm .
 
Du überprüfst, ob die Gleichung a’ 2 + b’ 2 = c’ 2 für diese Werte erfüllt ist:kem GeoII GeoIISGdPWiss 11 Begründen und Beweisen
 
also: c’ 2 = a’ 2 + b’ 2
 
(übrigens: Dass Leonies neues Dreieck A’B’C’ rechtwinklig ist, kannst du auch mit dem ähnlichkeitssatz S:S:S begründen.
 
Das Dreieck A’B’C’ entsteht aus dem Dreieck ABC durch Verdopplung der Seiten, also sind die beiden Dreiecke zueinander ähnlich.
 
Insbesondere hat das Dreieck A’B’C’ dieselben Winkel wie das Dreieck ABC und ist deshalb auch rechtwinklig.)kem GeoII GeoIISGdPWiss 12 Begründen und Beweisen
 
Paul verlängert alle Seiten des Ausgangsdreiecks um einen Zentimeter und erhält ein neues Dreieck mit den Seitenlängen a’ = 4 cm , b’ = 5 cm , c’ = 6 cm .
 
Wäre dieses Dreieck rechtwinklig, so käme als Hypotenuse nur die längste Seite c’ in Frage.
 
Außerdem müsste nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung a’ 2 + b’ 2 = c’ 2 erfüllt sein:kem GeoII GeoIISGdPWiss 13 Begründen und Beweisen
 
also: c’ 2 a’ 2 + b’ 2
 
kem GeoII GeoIISGdPWiss 14 Begründen und Beweisen